교육

계수가 소수인 일차부등식의 풀이 계수가 소수인 일차부등식을 풀 때는 부등식의 양변에 $10,~100,~1000,~\cdots$을 곱하여 계수를 정수로 고친다. 예를 들어보자. $$0.36x-0.38\geq0.18x+1.24$$ 이 부등식을 풀 때 먼저 양변에 $100$을 곱한다. $$36x-38\geq18x+124$$ 이제 $x$가 있는 항은 좌변으로, 숫자는 우변으로 이항 한다. $$36x-18x\geq 124+38$$ 식을 정리한다. $$18x \geq 162$$ 양변을 $18$로 나눈다. $$x\geq 9$$ 참고로 일차부등식의 양변에 $10$의 거듭제곱을 곱할 때는 모든 항에 똑같이 곱해야 한다. 즉 $0.4x+1

좌표공간에서의 선분의 내분점과 외분점, 무게중심 수학용어정리, 개념정리좌표공간의 두 점 $A\left(x_1,~y_1,~z_1\right)$, $B\left(x_2,~y_2,~z_2\right)$에 대하여 1. 선분 $AB$를 $m:n$($m>0,~n>0$)으로 내분하는 점 $P$의 좌표는 아래와 같다.$$ P\left(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n},~\frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n},~\frac{mz_{2}+nz_{1}}{m+n}\right)$$ 2. 선분 $AB$를 $m:n$($m>0,~n>0,~m\neq n$)으로 외분하는 점 $Q$의 좌표는 아래와 같다.$$P\left(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n},~\frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n},~\f..

나머지정리와 인수정리 수학용어, 개념정리1. 나머지정리 다항식$f\left(x\right)$를 일차식 $x-\alpha$로 나누었을 때의 나머지를 $R$이라 하면, $R=f\left(\alpha\right)$이다. 2. 인수정리 (1) 다항식 $f\left(x\right)$가 일차식 $x- \alpha $로 나누어 떨어지면 $f\left(\alpha\right)=0$이다. (2) $f\left(\alpha\right)=0$이면 다항식 $f\left(x\right)$는 일차식 $ x-\alpha$로 나누어 떨어진다. 3. 다항식 $f\left(x\right)$가 $x-\alpha$로 나누어 떨어진다는 표현은 아래와 같다. (1) $f\left(x\right)$를 $x-\alpha$로 나눈 나머지는 $0$이..

괄호가 있는 일차부등식의 풀이순서는 아래와 같다. 첫째, 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다. 이때, 분배법칙이란 $a\left(b+c\right)=ab+ac$, $\left(a+b\right)c=ac+bc$를 의미한다. 둘째, $x$를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항한다. 이때, 상수항이란 숫자를 말한다. 셋째, 양변을 정리한다. 넷째, 양변을 $ x$의 계수로 나누어 $x$의 범위를 구해준다.이러한 순서로 몇 가지 풀어보도록 하겠다. $$2\left(x-3\right)\geq 4x-2$$ 여기서 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다. $$2x-6\geq 4x-2$$ 여기서 $x$를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항 한다. $$2x-4x\geq -2+6$$ 양변을 정리한다. $$-2x..

일차부등식일차부등식이란 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항 하여 정리하였을 때, (일차식)$>0$, (일차식)$0$$ 이 부등식에서 $x+2$는 일차식이므로 $x+2>0$는 일차부등식이다.+$$x+3\leq x-3$$ 위 부등식을 모두 좌변으로 이항해보자. $$x+3-x+3\leq0$$ 계산해 보자. $$6\leq0$$ $6$은 일차식이 아니므로 $x+3\leq x-3$는 일차부등식이 아니다.$$x^{2}+2\geq x^{2}+3x-2$$ 위 식을 모두 좌변으로 이항 해보자. $$x^{2}+2-x^{2}-3x+3\geq0$$ 동류항끼리 계산해 보자. $$-3x+3\geq0$$ 이 부등식에서 $-3x+3$은 일차식이므로, $x^{2}+2\geq x^{2}+3x-2$는 일차부등식이다.$$2x-4>2\left(..

부등식의 해 부등식에 $x=a$를 대입하였을 때, 부등식이 참이면 $x=a$는 부등식의 해이다. 부등식이 거짓이면 $x=a$는 부등식의 해가 아니다. 예를 들어보자. $x-2>3$에서 $x$대신 $4$를 대입해 보자. $4-2>3$ 이 말은 틀린 말이다. 좌변은 $2$이고 우면은 $3$이 되어 $2>3$은 틀린 말이기 때문이다. 즉 $x-2>3$의 해는 $4$가 아니다. 그렇다면 다른 수를 대입해 보자. $x-2>3$에 $x=7$을 대입해 보자. $7-2>3$은 참이 되므로 $x=0$은 $x-2>3$의 해가 된다. 하지만 이렇게 일일이 대입해서 찾는 것은 여간 쉬운 일이 아니다. 따라서 방정식처럼 좌변과 우변을 이항 하여 풀어내는 것이 더 편리하다. 실제로 한번 풀이를 해보겠다. $x-2>3$의 해를 구..

항등식과 미정계수법 1. 항등식 항등식이란 등식에 포함된 문자에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하는 등식을 말한다. 예를 들어 $x+3x=4x$에서 $x$에 어떤 수를 넣어도 좌변과 우변이 같다. 2. 항등식의 성질 아래의 등식이 $x$에 대한 항등식일 때, (1) $ax^{2}+bx+c=0$이면, $a=0,~b=0,~c=0$ (2) $ax^{2}+bx+c=a'x^{2}+b'x+c'$이면, $a=a',~b=b',~c=c'$ 항등식의 성질 중 하나는 결국에 식을 계산하다 보면 좌변과 우변이 같은 경우가 나온다. 따라서 $ax^{2}+bx+c=0$이라는 뜻은 $ax^{2}+bx+c=ax^{2}+bx+c$이 되어 $a=0,~b=0,~c=0$이어야 한다는 의미가 된다. 3. 미정계수법 미정계수법이란 항등식의 성..

구의 방정식 1. 구의 방정식의 표준형 구의 중심이 $\left(a,~b,~c\right)$이고, 반지름의 길이가 $r$인 구의 방정식은 아래와 같다. $$\normalsize\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}+\left(z-c\right)^{2}=r^{2}$$ 특히 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $r$인 구의 방정식은 아래와 같다. $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$$ 2. 구의 방정식의 일반형 구의 방정식의 일반형은 아래와 같다. $$\small x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0$$ 단 이때 $A^{2}+b^{2}+C^{2}-4D>0$일 때만 생각하도록 한다. 그이유는 아래 반지름 길이가 나올 텐데 그 반지름의 길이가 $0$또..

제곱근의 덧셈과 뺄셈 $a>0$이고 $l,~m,~n$이 유리수일 때, (1) $m\sqrt{a}+n\sqrt{a}=\left(m+n\right)\sqrt{a}$ 예를 들어보자. $$2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=\left(2+4\right)\sqrt{3}$$ $$= 6\sqrt{3}$$ 하나만 더 예를 들어보자. $$2\sqrt{5}+10\sqrt{5}=\left(2+10\right)\sqrt{5}$$ $$=12\sqrt{5}$$ 마치 $x+3x=\left(1+3\right)x=4x$를 계산하는 원리와 같다. 즉 루트 속의 숫자가 같을 때만 덧셈을 할 수 있는 것이다. 다시말하자면 $x+y$는 더 이상 계산이 되지 않듯이 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$은 더이상 계산이 되지 않는다는 의미이다. ..

분모의 유리화 1. 분모의 유리화 : 분모에 근호를 포함한 무리수가 있을 때, 분모와 분자에 $0$이 아닌 같은 수를 곱하여 분모를 유리수로 고치는 것이다. 참고로 분모의 유리화를 하면 그 수가 대략 몇인지 알 수 있기에 분모의 유리화를 선호하는 것도 있다. 예를들어 $\sqrt{2}$는 대략 $1.41\cdots$이고 순환하지 않는 무한소수이다. 그렇다면 $\Large{\frac{1}{\sqrt{2}}}$는 $\Large{\frac{1}{1.41\cdots}}$가 되어 전체적으로 몇인지 알기 어렵다. 따라서 이후에 유리화를 하면 대략 몇인지 알기가 쉬워진다. 2. 분모를 유리화 하는 방법 $a>0,~b>0$일 때 $\Large{\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{b}\t..