고등수학. 항등식과 미정계수법

항등식과 미정계수법

1. 항등식

항등식이란 등식에 포함된 문자에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하는 등식을 말한다.

예를 들어 $x+3x=4x$에서 $x$에 어떤 수를 넣어도 좌변과 우변이 같다.

 

2. 항등식의 성질

아래의 등식이 $x$에 대한 항등식일 때, 

 (1) $ax^{2}+bx+c=0$이면, $a=0,~b=0,~c=0$

 

 (2) $ax^{2}+bx+c=a'x^{2}+b'x+c'$이면, $a=a',~b=b',~c=c'$

 

항등식의 성질 중 하나는 결국에 식을 계산하다 보면 좌변과 우변이 같은 경우가 나온다. 

따라서 $ax^{2}+bx+c=0$이라는 뜻은 $ax^{2}+bx+c=ax^{2}+bx+c$이 되어 $a=0,~b=0,~c=0$이어야 한다는 의미가 된다.

3. 미정계수법

미정계수법이란 항등식의 성질을 이용하여 등식에서 정해지지 않은 계수와 상수항을 정하는 방법이다.

 (1) 계수비교법 : 양변의 동류항의 계수를 비교하여 정하는 방법

 양변에 식을 내림차순으로 정리하기 쉽거나 전개가 비교적 간단한 경우에 주로 사용한다.

 

 (2) 수치대입법 : 양변의 문자에 적당한 수를 대입하여 정하는 방법.

 적당한 값을 대입하면 식이 간단해지거나 식이 복잡하여 전개하기 어려운 경우에 주로 사용

 대체적으로 $0,~1,~-1$과 같은 간단한 수를 대입하면 식이 소거되거나 간단해지는 경우 주로 사용한다.

 

4. $ x$에 대한 항등식과 같은 표현

문제를 풀 때 아래의 글이 나타나면 $x$에 대한 항등식이라는 의미이다.

 (1) 모든 $x$에 대하여 성립하는 등식

 (2) 임의의 $x$에 대하여 성립하는 등식

 (3) $x$의 값에 관계없이 성립하는 등식

 (4) $x$가 어떤 값을 갖더라도 성립하는 등식