고등수학. 구의 방정식

구의 방정식

1. 구의 방정식의 표준형

구의 중심이 $\left(a,~b,~c\right)$이고, 반지름의 길이가 $r$인 구의 방정식은 아래와 같다.

$$\normalsize\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}+\left(z-c\right)^{2}=r^{2}$$

 

특히 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $r$인 구의 방정식은 아래와 같다.

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$$

 

2. 구의 방정식의 일반형

구의 방정식의 일반형은 아래와 같다.

$$\small x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0$$

 

단 이때 $A^{2}+b^{2}+C^{2}-4D>0$일 때만 생각하도록 한다.

 

그이유는 아래 반지름 길이가 나올 텐데 그 반지름의 길이가 $0$또는 허수가 되면 구가될 수 없기 때문이다.

아래에 반지름 이야기가 나오면 다시 이야기 하도록 하겠다.

 

참고로 이 일반형에서 구의 중심의 좌표는 아래와 같다.

$$\left(-\frac{A}{2},~-\frac{B}{2},~-\frac{C}{2}\right)$$

 

더불어 이 일반형에서 반지름의 길이는 아래와 같다.

$$\frac{\sqrt{A^{2}+b^{2}+C^{2}-4D}}{2}$$

이때 $A^{2}+b^{2}+C^{2}-4D>0$인 이유가 루트 속의 값이 양수이어야 한다는 뜻이다.

즉 반지름의 길이가 $0$또는 허수가 되면 구가될 수 없기 때문이라는 뜻이다.

---

3. 두 점 $A\left(x_{1},~y_{1},~z_{1}\right),~B\left(x_{2},~y_{2},~z_{2}\right)$를 지름의 양 끝 점으로 하는 구의 방정식은 아래와 같다.

 

$$ \small\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)+\left(y-y_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)$$

$$\small+\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)=0$$

 

4. 좌표평면에 접하는 구의 방정식.

중심이 $C\left(a,~b,~c\right)$이고

 (!) $xy$평면에 접하는 구의 방정식은 아래와 같다.

$$\normalsize\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}+\left(z-c\right)^{2}=c^{2}$$

 

(2) $yz$평면에 접하는 구의 방정식은 아래와 같다.

$$\normalsize\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}+\left(z-c\right)^{2}=a^{2}$$

 

(3) $zx$평면에 접하는 구의 방정식은 아래와 같다.

$$\normalsize\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}+\left(z-c\right)^{2}=b^{2}$$

 

5. 구와 평면의 위치관계

구의 중심과 평면 사이의 거리를 $d$, 구의 반지름의 길이를 $r$이라 할 때

 

(1) $d<r ~ \Rightarrow$ 만나서 원이 생긴다.

(2) $d=r ~ \Rightarrow$ 접한다.

(3) $d>r ~ \Rightarrow$ 만나지 않는다.

 

6. 두 구의 위치관계

두 구 $S,~S'$의 반지름의 길이가 각각 $r,~r'$이고 두 구의 중심사이 거리를 $d$ 라고 하자.

(1) $d>r+r' \Rightarrow$ 한 구가 다른 구의 외부에 있다.

(2) $d=r+r' \Rightarrow$  두 구가 외접한다.

(3) $d=\left\vert r-r'\right\vert \Rightarrow$ 두 구가 내접한다.

(4) $ 0\leq d < \left\vert r-r'\right\vert \Rightarrow$ 한 구가 다른 구의 내부에 있다.