중3 수학. 분모의 유리화

분모의 유리화

1. 분모의 유리화 : 분모에 근호를 포함한 무리수가 있을 때, 분모와 분자에 $0$이 아닌 같은 수를 곱하여 분모를 유리수로 고치는 것이다.

 

참고로 분모의 유리화를 하면 그 수가 대략 몇인지 알 수 있기에 분모의 유리화를 선호하는 것도 있다.

예를들어 $\sqrt{2}$는 대략 $1.41\cdots$이고 순환하지 않는 무한소수이다.

그렇다면 $\Large{\frac{1}{\sqrt{2}}}$는 $\Large{\frac{1}{1.41\cdots}}$가 되어 전체적으로 몇인지 알기 어렵다.

따라서 이후에 유리화를 하면 대략 몇인지 알기가 쉬워진다.

 

2. 분모를 유리화 하는 방법

$a>0,~b>0$일 때

$\Large{\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{b}\times \sqrt{a}}{\sqrt{a}\times \sqrt{a}}=\frac{\sqrt{ab}}{a}}$

 

이 유리화를 하는 원리는 $\Large{\frac{1}{2}}$에 분모 분자 똑같이 $3$을 곱하면, $\Large{\frac{1\times 3}{2\times 3}}$이 되어 $\Large{\frac{1}{2}=\frac{3}{6}}$임을 이용하는 것이다.

 

예를 들어서 하나만 유리화해 보자.

$$\frac{2}{\sqrt{7}}$$

$$=\frac{2\times \sqrt{7}}{\sqrt{7}\times\sqrt{7}}$$

$$=\frac{2\sqrt{7}}{7}$$

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합차공식을 이용한 분모의 유리화.

합차공식을 이용한 분모의 유리화는 우리가 배운 인수분해공식을 이용한다.

혹시나 잊어버렸을 것을 대비해 아래에 미리 써두겠다.

$$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}$$

 

이 공식을 이용한 유리화 방법을 소개하고 하나의 예를 들어 보겠다.

 

$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$

$$=\frac{1\times\left( \sqrt{a}-\sqrt{b}\right) }{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\times \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}$$

$$=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$$

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위의 방식으로 하면 되지만, 위의 식처럼 문자로만 알려주면 머리가 아프고 가습이 먹먹해질 것이다.

실제 숫자를 통한 예를 하나 보여주겠다.

 

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$$

$$=\frac{1\times\left( 1-\sqrt{2}\right) }{\left(1+\sqrt{2}\right)\times \left(1-\sqrt{2}\right)}$$

$$=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}$$

$$=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}$$

$$=-1+\sqrt{2}$$

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하나의 예를 더 들어보겠다.

$$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$$

$$=\frac{1\times\left( \sqrt{2}-\sqrt{3}\right) }{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\times \left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}$$

$$=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}$$

$$=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}$$

$$=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$$