교육

문제. $A,~B,~C,~D$ 네 명을 한 줄로 세울 때 $B,~C$가 양끝에 서는 경우의 수를 구하여라 아이디어. $B,~C$를 양 끝에 서는 경우이므로 미리 $B,~C$를 세워두고 나머지 사람들을 일렬로 나열한다. 그리고나서 $B,~C$의 자리를 바꿔주면 된다. 참고로 $4$명을 일렬로 나열하는 경우의 수는 $4\times 3\times 2\times 1$이다. 풀이. 먼저 $B,~C$를 양 끝에 나열하자. 그렇다면 $B$ __ __ $C$ 이런식으로 나열된다. 그럼 가운데 빈자리에 $A$와 $D$를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $2\times 1$이다. 그리고. $B$와 $C$가 자리를 바꾸는 경우가 있으므로 그 경우는 $2$ 가지이다. 따라서 최종적으로 경우의 수는 $2\times 1\times ..

문제. 세 자매의 나이는 각각 $2$세씩 차이가 나고 맏이의 나이는 막내의 나이의 $2$배보다 $7$세 적다고 한다. 막내의 나이를 구하여라. 아이디어. 일단 맏이는 첫째라는 뜻이다. 그리고 세 자매이므로 막내는 셋째이다. 자매의 아니가 $2$살씩 차이가 나는데, 막내의 나이를 구하라고 하였으므로 막내의 나이를 $x$로 두고 풀면 아무래도 더욱 편리할 것이다. 풀이. 맏이 나이 $x+4$살 둘째 나이 $x+2$살 막내 나이 $x$살이라 하자. 맏이의 나이는 막내의 나이의 $2$배보다 $7$세 적다는 것을 이용하여 식을 세워보자. $x+4=$2x-7$ $x-2x=-7-4$ $-x=-11$ $x=11$이다. 따라서 막내의 나이는 $11$살이다.

중1 수학. 정비례 1. 변하는 두 양 $x,~y$에서 $x$의 값이 $2$배, $3$배, $4$배, $\cdots$가 될 때, $y$의 값도 $2$배, $3$배, $4$배, $\cdots$가 되는 관계가 있으면 $y$는 $x$에 정비례한다고 한다. 2. $y$가 $x$에 정비례하면 $y=ax\left(a\neq0\right)$인 관계식이 성립한다. 3. $x,~y$사이에 $y=ax\left(a\neq0\right)$인 관계가 성립하면 $y$는 $x$에 정비례한다. 4. $y$가 $x$에 정비례할 때, $\frac{y}{x}\left(x\neq0\right)$의 값은 일정하다. 5. $y=ax\left(a\neq0,~x\neq0\right)$에서 $\frac{y}{x}=a$로 일정하다. 6. 정비례 관계..

고등수학 용어정리. 이차방정식의 켤레근과 실근의 부호 1. 이차방정식의 켤레근 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$에서 $a,~b,~c$가 유리수일 때, 한 근이 $p+q\sqrt{m}$이면 다른 한 근은 $p-q\sqrt{m}$이다. 단 $p,~q$는 유리수, $q\neq0,~\sqrt{m}$은 무리수이다. $a,~b,~c$가 실수일 때, 한 근이 $p+qi$이면 다른 한 근은 $p-qi$이다. 단$p,~q$는 실수, $q\neq0,~i=\sqrt{-1}$이다. 2. 이차방정식의 실근의 부호 $a,~b,~c$가 실수인 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha,~\beta$라 하고, 판별식을 $D$라 하면 두 근이 모두 양수일 때, $D\geq0,~\alpha+\beta>0,~\..

중2수학. 함숫값 1. $y$가 $x$의 함수일 때, 이것을 기호로 $y=f\left(x\right)$로 나타낸다. 2. 함수 $y=f\left(x\right)$에서 $x$의 값에 따라 하나로 정해지는 $y$의 값을 함숫값이라 한다. 다시 말하자면 $f\left(x\right)$를 $x$에서의 함숫값이라 한다. 3. 함수 $ y=f\left(x\right)$에 대하여 $f\left(a\right)$는 $x$의 값이 $a$일 때의 함숫값이다. $x=a$일 때 $y$값이다. $y=f\left(x\right)$에 $x$대신 $a$를 대입하여 얻은 값이다. 4. $f\left(x\right)=3x$에 대하여 $ f\left(1\right)$의 값을 구해보자. 즉 $x=1$일 때의 값을 말한다. 따라서 $3x$에..

중1 수학. 일차방정식 활용 어떤 수 구하기 문제. 어떤 수의 $5$보다 $28$만큼 작은 수는 어떤 수의 $\frac{1}{3}$배와 같다. 어떤 수를 구하여라. 아이디어. 이러한 일차방정식 활용문제, 즉 문장제 문제는 문제를 꼼꼼하게 읽고 식을 세울 줄 알아야 한다. 학생들에게 문제를 다시 읽어보라 하면 글씨만 읽는다. 학생들이여, 선생님이나 어른들이 문제를 다시 읽으라는 의미가 무엇인지부터 잘 생각하자. 문제를 잘 읽자, 문제를 다시 보아라는 뜻은 문제를 읽고 머릿속에서 무엇을 묻는 것인지, 힌트가 무엇인지를 파악하라는 것이다. 그러니 문제를 부디 잘 읽어보길 바란다. 풀이. 문제를 다시한번 읽어보자. 글씨만 읽는 것은 유치원생도 할 줄 안다. 문제를 읽고 무엇을 묻는지 무엇을 알려주는지 잘 파악하..

중1 수학. 일차식이 되기 위한 조건 문제. 다항식 $2x^{2}-ax+3-bx^{2}-5x+7$이 $x$에 대한 일차식이 되기 위한 상수 $a,~b$의 조건은? 개념 일차식이란 무엇일까? $ax+b$, 단 $a\neq0$일 때 일차식이다. 즉 $2x-4,~9x+1$과 같은 모양이 일차식이다. $2x^{2}-4x+2$은 일차식이 아닌 이차식이 된다. 풀이. 문제를 다시 한번 살펴보자. 다항식 $2x^{2}-ax+3-bx^{2}-5x+7$이 $x$에 대한 일차식이 되기 위한 상수 $a,~b$의 조건은? 이 식을 일차식의 모양으로 바꾸기 위해 우선 동류항끼리 계산을 하자. $2x^{2}-ax+3-bx^{2}-5x+7$ $=\left(2-b\right)x^{2}+\left(-a-5\right)x+10$ 이 식..

중1 수학. 일차방정식 활용, 원가문제 문제. 원가에 $20\%$의 이익을 붙여서 정가를 정한 상품이 팔리지 않아 정가에서 $1200$원을 할인하여 판매하였더니 원가의 $10\%$의 이익을 얻었다고 한다. 이 상품의 원가를 구하시오. 아이디어 1. 문제에서 구하라는 것이 무엇인가? 이 상품의 원가이다. 따라서 상품의 원가를 $x$라 두자. 2. 원가의 $20\%$의 이익을 얻었다는 것을 생각하자. 원가가 $x$원이다. 그렇다면 $20\%$의 이익을 붙이면 어떻게 될까? 결론은 $x+\frac{20}{100}x$이다. 하지만 분수로 해서 풀면 불편한 점이 생긴다 따라서 소수로 생각해 보자. 즉 $x+0.2x$이고 이것을 계산하면 $1.2x$원 이다. 3. 만약 그렇다면 $20\%$의 할인을 했다면 어떨까?..

연립방정식 활용-증가 감소 문제 문제. 민지는 헬스장에서 유산소 운동과 근력 운동을 하고 있다. 이번 달에는 지난달에 비해 유산소 운동 시간은 $18\%$, 근력 운동 시간은 $22\%$늘려서 전체적으로 운동 시간을 $20\%$늘렸다. 이번 달 운동 시간이 $12$시간일 때, 이번 달의 유산소 운동 시간을 구하여라. 풀이. 먼저 문제를 다시 한번 꼼꼼하게 읽어보자. 민지는 헬스장에서 유산소 운동과 근력 운동을 하고 있다. 이번 달에는 지난달에 비해 유산소 운동 시간은 $18\%$, 근력 운동 시간은 $22\%$늘려서 전체적으로 운동 시간을 $20\%$늘렸다. 이번 달 운동 시간이 $12$시간일 때, 이번 달의 유산소 운동 시간을 구하여라. 지난달 유산소 운동 시간을 $x$시간, 지난달 근력 운동 시간을 ..

이차방정식의 근과 계수와의 관계 1. $a,~b,~c$가 실수인 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha,~\beta$라 하면 $\Large\alpha+\beta=-\frac{b}{a},~\alpha\beta=\frac{c}{a}$ 2. 두 수 $\alpha,~\beta$를 두 근으로 갖고, $x^{2}$의 계수가 $1$인 이차방정식은 $x^{2}-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0$이다. 2-1. 참고로 두 수 $\alpha,~\beta$를 두 근으로 갖고, $x^{2}$의 계수가 $2$인 이차방정식은 $2\left\{x^{2}-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta\right\}=0$이다. 3. 이차방정식의 인..