교육

사면체의 페르마 점페르마 점(Fermat Point)은 주어진 도형의 꼭짓점들로부터의 거리의 합이 최소가 되는 점을 의미합니다. 이 개념은 주로 삼각형에서 다루어지지만, 사면체와 같은 3차원 도형에서도 적용될 수 있습니다. 1. 페르마 점의 기초 개념1.1 페르마 점의 정의페르마 점은 주어진 도형의 각 꼭짓점에서 특정 점까지의 거리의 합이 최소가 되는 점입니다. 삼각형의 경우, 페르마 점은 각 꼭짓점에서의 거리의 합이 최소가 되는 점으로 정의됩니다. 이 점은 삼각형의 내부에 위치하며, 각 꼭짓점에서의 각도가 120도인 경우에 해당합니다.1.2 역사적 배경페르마 점의 개념은 17세기 수학자 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)에 의해 처음 제안되었습니다. 그는 이 점이 주어진 도형의 최적화 문..

생활 속에서 발견된 피보나치 수열피보나치 수열은 수학에서 매우 중요한 개념으로, 자연계와 예술, 과학 등 다양한 분야에서 발견됩니다. 이 수열은 다음과 같은 방식으로 정의됩니다: 첫 번째와 두 번째 항이 1이고, 그 이후의 항은 바로 앞의 두 항을 더한 값으로 정의됩니다. $$F(0) = 0, \quad F(1) = 1,$$$$\quad F(n) = F(n-1) + F(n-2) \quad (n \geq 2)$$이 수열의 처음 몇 개의 항은 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...입니다. 피보나치 수열은 자연계에서 여러 가지 형태로 나타나며, 그 예시는 다음과 같습니다.1. 식물의 배열자연에서 피보나치 수열이 가장 두드러지게 나타나는 곳 중 하나는 식물의 잎..

고등학교 미분 단원에서의 실생활 문제고등학교 미분 단원에서 다루는 내용은 수학적 개념을 이해하는 데 중요한 기초를 제공합니다. 미분은 변화율을 측정하는 도구로, 다양한 실생활 문제에 적용될 수 있습니다. 1. 미분의 기본 개념미분은 함수의 변화율을 나타내는 수학적 도구입니다. 함수 $f(x)$가 주어졌을 때, $x$의 아주 작은 변화량 $\Delta x$에 대해 함수 값의 변화량 $\Delta f$를 고려합니다. 이때, 미분계수는 다음과 같이 정의됩니다:$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$이 식은 $x$에서의 함수의 기울기..

사다리꼴 이름이 붙은 이유는? 1. 사다리꼴의 정의 사다리꼴은 기하학에서 두 개의 평행한 변과 두 개의 비평행한 변을 가진 다각형입니다. 일반적으로 사다리꼴은 네 개의 변으로 구성되어 있으며, 평행한 두 변을 '밑변'이라고 하고, 나머지 두 변을 '측면'이라고 부릅니다. 사다리꼴은 그 형태 때문에 다양한 분야에서 활용되며, 특히 건축, 디자인, 그리고 수학에서 중요한 역할을 합니다. 2. 사다리꼴의 기원 사다리꼴이라는 이름은 한국어에서 유래되었습니다. '사다리'는 수직으로 세운 두 개의 기둥 사이에 가로로 연결된 여러 개의 가로대를 의미하며, 이 모습이 사다리꼴의 형태와 유사합니다. 즉, 사다리의 구조적 형태와 비슷한 점에서 이 이름이 붙여졌다고 볼 수 있습니다. 3. 사다리꼴의 종류 사다리꼴은 다양한 ..

문제. $A,~B,~C,~D$ 네 명을 한 줄로 세울 때 $B,~C$가 양끝에 서는 경우의 수를 구하여라 아이디어. $B,~C$를 양 끝에 서는 경우이므로 미리 $B,~C$를 세워두고 나머지 사람들을 일렬로 나열한다. 그리고나서 $B,~C$의 자리를 바꿔주면 된다. 참고로 $4$명을 일렬로 나열하는 경우의 수는 $4\times 3\times 2\times 1$이다. 풀이. 먼저 $B,~C$를 양 끝에 나열하자. 그렇다면 $B$ __ __ $C$ 이런식으로 나열된다. 그럼 가운데 빈자리에 $A$와 $D$를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $2\times 1$이다. 그리고. $B$와 $C$가 자리를 바꾸는 경우가 있으므로 그 경우는 $2$ 가지이다. 따라서 최종적으로 경우의 수는 $2\times 1\times ..

문제. 세 자매의 나이는 각각 $2$세씩 차이가 나고 맏이의 나이는 막내의 나이의 $2$배보다 $7$세 적다고 한다. 막내의 나이를 구하여라. 아이디어. 일단 맏이는 첫째라는 뜻이다. 그리고 세 자매이므로 막내는 셋째이다. 자매의 아니가 $2$살씩 차이가 나는데, 막내의 나이를 구하라고 하였으므로 막내의 나이를 $x$로 두고 풀면 아무래도 더욱 편리할 것이다. 풀이. 맏이 나이 $x+4$살 둘째 나이 $x+2$살 막내 나이 $x$살이라 하자. 맏이의 나이는 막내의 나이의 $2$배보다 $7$세 적다는 것을 이용하여 식을 세워보자. $x+4=$2x-7$ $x-2x=-7-4$ $-x=-11$ $x=11$이다. 따라서 막내의 나이는 $11$살이다.

중1 수학. 정비례 1. 변하는 두 양 $x,~y$에서 $x$의 값이 $2$배, $3$배, $4$배, $\cdots$가 될 때, $y$의 값도 $2$배, $3$배, $4$배, $\cdots$가 되는 관계가 있으면 $y$는 $x$에 정비례한다고 한다. 2. $y$가 $x$에 정비례하면 $y=ax\left(a\neq0\right)$인 관계식이 성립한다. 3. $x,~y$사이에 $y=ax\left(a\neq0\right)$인 관계가 성립하면 $y$는 $x$에 정비례한다. 4. $y$가 $x$에 정비례할 때, $\frac{y}{x}\left(x\neq0\right)$의 값은 일정하다. 5. $y=ax\left(a\neq0,~x\neq0\right)$에서 $\frac{y}{x}=a$로 일정하다. 6. 정비례 관계..

고등수학 용어정리. 이차방정식의 켤레근과 실근의 부호 1. 이차방정식의 켤레근 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$에서 $a,~b,~c$가 유리수일 때, 한 근이 $p+q\sqrt{m}$이면 다른 한 근은 $p-q\sqrt{m}$이다. 단 $p,~q$는 유리수, $q\neq0,~\sqrt{m}$은 무리수이다. $a,~b,~c$가 실수일 때, 한 근이 $p+qi$이면 다른 한 근은 $p-qi$이다. 단$p,~q$는 실수, $q\neq0,~i=\sqrt{-1}$이다. 2. 이차방정식의 실근의 부호 $a,~b,~c$가 실수인 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha,~\beta$라 하고, 판별식을 $D$라 하면 두 근이 모두 양수일 때, $D\geq0,~\alpha+\beta>0,~\..

중2수학. 함숫값 1. $y$가 $x$의 함수일 때, 이것을 기호로 $y=f\left(x\right)$로 나타낸다. 2. 함수 $y=f\left(x\right)$에서 $x$의 값에 따라 하나로 정해지는 $y$의 값을 함숫값이라 한다. 다시 말하자면 $f\left(x\right)$를 $x$에서의 함숫값이라 한다. 3. 함수 $ y=f\left(x\right)$에 대하여 $f\left(a\right)$는 $x$의 값이 $a$일 때의 함숫값이다. $x=a$일 때 $y$값이다. $y=f\left(x\right)$에 $x$대신 $a$를 대입하여 얻은 값이다. 4. $f\left(x\right)=3x$에 대하여 $ f\left(1\right)$의 값을 구해보자. 즉 $x=1$일 때의 값을 말한다. 따라서 $3x$에..

중1 수학. 일차방정식 활용 어떤 수 구하기 문제. 어떤 수의 $5$보다 $28$만큼 작은 수는 어떤 수의 $\frac{1}{3}$배와 같다. 어떤 수를 구하여라. 아이디어. 이러한 일차방정식 활용문제, 즉 문장제 문제는 문제를 꼼꼼하게 읽고 식을 세울 줄 알아야 한다. 학생들에게 문제를 다시 읽어보라 하면 글씨만 읽는다. 학생들이여, 선생님이나 어른들이 문제를 다시 읽으라는 의미가 무엇인지부터 잘 생각하자. 문제를 잘 읽자, 문제를 다시 보아라는 뜻은 문제를 읽고 머릿속에서 무엇을 묻는 것인지, 힌트가 무엇인지를 파악하라는 것이다. 그러니 문제를 부디 잘 읽어보길 바란다. 풀이. 문제를 다시한번 읽어보자. 글씨만 읽는 것은 유치원생도 할 줄 안다. 문제를 읽고 무엇을 묻는지 무엇을 알려주는지 잘 파악하..