교육

중1 수학. 일차식이 되기 위한 조건 문제. 다항식 $2x^{2}-ax+3-bx^{2}-5x+7$이 $x$에 대한 일차식이 되기 위한 상수 $a,~b$의 조건은? 개념 일차식이란 무엇일까? $ax+b$, 단 $a\neq0$일 때 일차식이다. 즉 $2x-4,~9x+1$과 같은 모양이 일차식이다. $2x^{2}-4x+2$은 일차식이 아닌 이차식이 된다. 풀이. 문제를 다시 한번 살펴보자. 다항식 $2x^{2}-ax+3-bx^{2}-5x+7$이 $x$에 대한 일차식이 되기 위한 상수 $a,~b$의 조건은? 이 식을 일차식의 모양으로 바꾸기 위해 우선 동류항끼리 계산을 하자. $2x^{2}-ax+3-bx^{2}-5x+7$ $=\left(2-b\right)x^{2}+\left(-a-5\right)x+10$ 이 식..

중1 수학. 일차방정식 활용, 원가문제 문제. 원가에 $20\%$의 이익을 붙여서 정가를 정한 상품이 팔리지 않아 정가에서 $1200$원을 할인하여 판매하였더니 원가의 $10\%$의 이익을 얻었다고 한다. 이 상품의 원가를 구하시오. 아이디어 1. 문제에서 구하라는 것이 무엇인가? 이 상품의 원가이다. 따라서 상품의 원가를 $x$라 두자. 2. 원가의 $20\%$의 이익을 얻었다는 것을 생각하자. 원가가 $x$원이다. 그렇다면 $20\%$의 이익을 붙이면 어떻게 될까? 결론은 $x+\frac{20}{100}x$이다. 하지만 분수로 해서 풀면 불편한 점이 생긴다 따라서 소수로 생각해 보자. 즉 $x+0.2x$이고 이것을 계산하면 $1.2x$원 이다. 3. 만약 그렇다면 $20\%$의 할인을 했다면 어떨까?..

연립방정식 활용-증가 감소 문제 문제. 민지는 헬스장에서 유산소 운동과 근력 운동을 하고 있다. 이번 달에는 지난달에 비해 유산소 운동 시간은 $18\%$, 근력 운동 시간은 $22\%$늘려서 전체적으로 운동 시간을 $20\%$늘렸다. 이번 달 운동 시간이 $12$시간일 때, 이번 달의 유산소 운동 시간을 구하여라. 풀이. 먼저 문제를 다시 한번 꼼꼼하게 읽어보자. 민지는 헬스장에서 유산소 운동과 근력 운동을 하고 있다. 이번 달에는 지난달에 비해 유산소 운동 시간은 $18\%$, 근력 운동 시간은 $22\%$늘려서 전체적으로 운동 시간을 $20\%$늘렸다. 이번 달 운동 시간이 $12$시간일 때, 이번 달의 유산소 운동 시간을 구하여라. 지난달 유산소 운동 시간을 $x$시간, 지난달 근력 운동 시간을 ..

이차방정식의 근과 계수와의 관계 1. $a,~b,~c$가 실수인 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha,~\beta$라 하면 $\Large\alpha+\beta=-\frac{b}{a},~\alpha\beta=\frac{c}{a}$ 2. 두 수 $\alpha,~\beta$를 두 근으로 갖고, $x^{2}$의 계수가 $1$인 이차방정식은 $x^{2}-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0$이다. 2-1. 참고로 두 수 $\alpha,~\beta$를 두 근으로 갖고, $x^{2}$의 계수가 $2$인 이차방정식은 $2\left\{x^{2}-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta\right\}=0$이다. 3. 이차방정식의 인..

괄호가 많은 일차식 계산 풀이 문제. $-2\left(3x-1\right)-[5x+\frac{1}{2}\left\{7-\left(4x-1\right)\right\}]$ 을 간단히 하시오. 풀이 전략 별다른 전략은 없다 괄호 순서를 소괄호, 중괄호, 대괄호 순으로 풀면서 정리하면 된다. 풀이. $-2\left(3x-1\right)-[5x+\frac{1}{2}\left\{7-\left(4x-1\right)\right\}]$ $=-6x+2-\left\{5x+\frac{1}{2}\left(7-4x+1\right)\right\}$ $=-6x+2-\left\{5x+\frac{1}{2}\left(-4x+8\right)\right\}$ $=-6x+2-\left(3x+4\right)$ $-6x+2-3x-4$ $=-9x-2$

조건에 맞는 유한소수 찾는 문제 문제. 두 분수 $\frac{1}{b}$과 $\frac{1}{2}$사이에 있는 분자가 자연수인 분수 중 분모가 $24$이고, 유한소수로 나타낼 수 있는 분수는 모두 몇 개인지 구하시오. 필요한 개념. 모든 유한소수는 분모의 소인수가 2 또는 5가 되는 것이다. 따라서 우리는 유한소수인지 아닌지 판단하기 위해서 해야 할 일은 아래와 같다. 첫 번째, 소수를 분수로 고친다. 두 번째, 분수가 약분이 되면 약분한다. 세 번째, 분모를 소인수분해 한다. 네 번째, 분모의 소인수가 2 또는 5이면 그 소수는 유한소수이다. 풀이. $\frac{1}{8}=\frac{3}{24},~\frac{1}{2}=\frac{12}{24}$이다. $\frac{x}{24}=\frac{x}{2^{3}\..

이차방정식의 근의 판별 $a,~b,~c$가 실수인 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 판별식을 $D=b^{2}-4ac$라 하자. (1) $D>0$이면 서로 다른 두 실근을 갖는다. (2) $D=0$이면 중근을 갖는다, 서로 같은 두 실근을 갖는다. (3) $D0$이다. 하지만 근의 공식을 이용하면 $x=-i\pm1$로 허근을 갖는다. 계수가 복소수인 이차방정식도 판별식 $D=0$이면 중근을 갖는다. 예를들어 이차방정식 $x^{2}-2ix-1=0$의 판별식을 사용하면 $\Large \frac{D}{4}=i^{2}+1=0$으로 중근을 갖는데, 근의 공식을 이용해 보면 $x=i$이므로 근의 공식을 이용해도 중근을 갖는다. (2) 실근의 부호 허수는 대소를 비교할 수 없으므로 실근의 부호를 따질 때에는 계..

이차방정식의 풀이 1. 인수분해를 이용한 풀이 $\left(ax-b\right)\left(cx-d\right)=0,~\left(ac\neq0\right)$의 근은 $\Large x=\frac{b}{a}$또는 $\Large x=\frac{d}{c}$ 2. 근의 공식을 이용한 풀이 (1) 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 근은 $\Large x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ (2) 이차방정식 $ax^{2}+2b'x+c=0$의 근은 $\Large x=\frac{-b'\pm\sqrt{b'^{2}-ac}}{a}$ 참고로 $\sqrt{b^{2}-4ac}$는 실수이거나 허수이므로 이차방정식은 복소수의 범위에서 반드시 근을 갖는다.

제곱근의 성질을 이용한 문제 풀이 문제. 두 실수 $a,~b$에 대하여 $a-b>0,~ab

일차방정식 문제를 잘못 보고 푼 문제 문제. 일차방정식 $3\left(x+2\right)-1=\large{\frac{1-x}{2}}$에서 우변의 $1$을 다른 수로 잘못 보고 풀었더니 해가 $x=-1$이었다. $1$을 어떤 수로 잘못 보았는지 구하시오, 문제 풀이 전략 이런 유형의 문제는 문제를 아주 꼼꼼하게 읽어야 한다. 또한 각 문제에 밑줄을 그어서 직접 확인하면서 푸는 것이 중요하다. 문제에서 우변의 $1$을 다른 수로 잘못 보고 라는 글을 보고 $a$로 잘못 보았다고 할 수 있다. $1$을 어떤 수로 잘못 보았는지 구하시오, 이 글을 읽고 결국은 $a$를 구하라는 의미가 되는 것이다. 풀이. 자 문제를 다시한번 꼼꼼하게 읽어보자. 일차방정식 $3\left(x+2\right)-1=\large{\fr..