고등수학 용어정리. 이차방정식의 켤레근과 실근의 부호

고등수학 용어정리. 이차방정식의 켤레근과 실근의 부호

1. 이차방정식의 켤레근

 

이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$에서 

$a,~b,~c$가 유리수일 때, 

한 근이 $p+q\sqrt{m}$이면 다른 한 근은 $p-q\sqrt{m}$이다.

단 $p,~q$는 유리수, $q\neq0,~\sqrt{m}$은 무리수이다.

 

$a,~b,~c$가 실수일 때, 

한 근이 $p+qi$이면 다른 한 근은 $p-qi$이다.

단$p,~q$는 실수, $q\neq0,~i=\sqrt{-1}$이다.

 

2. 이차방정식의 실근의 부호

$a,~b,~c$가 실수인 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha,~\beta$라 하고, 판별식을 $D$라 하면

 

두 근이 모두 양수일 때, 

$D\geq0,~\alpha+\beta>0,~\alpha\beta>0$

 

두 근이 모두 음수일 때, 

$D\geq0,~\alpha+\beta<0,~\alpha\beta>0$

 

두 근이 서로 다른 부호일 때

$\alpha\beta<0$

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참고로 두 근이 서로 다른 부호일 때

이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 두근이 서로 다른 부호이면

$\frac{c}{a}<0$에서 $ac<0$이므로 판별식 $D$는 항상 $D=b^{2}-4ac>0$이다.

따라서 두 근이 서로 다른 부호이면 판별식의 부호를 따지지 않아도 된다.