중1 수학. 항등식

항등식

항등식이란 미지수에 어떤 값을 대입해도 항상 참이 되는 등식을 항등식이라 한다.

실제 예를 들어 살펴보자.

$4x-3x=x$를 이용한 예를 살펴보자.

$x$의 값	좌변	우변	참/거짓
$-1$	$4\times\left(-1\right)-3\times\left(-1\right)=-1$	$-1$	참
$0$	$4\times 0 -3\times 0=0-0=0$	$0$	참
$1$	$4\times 1-3\times 1=4-3=1$	$1$	참
$2$	$4\times 2-3\times 2=8-6=2$	$2$	참
$100$	$4\times 100 -3\times 100=400=300=100$	$100$	참

위의 표를 살펴보면 $x$에 어떤 값을 대입해도 항상 참이 되는 등식이므로 $4x-3x=x$는 항등식이다.

참고로 항등식이 되면 좌변을 계산한 식과 우변을 계산한 식이 같아지는 특징이 있다.

즉 좌변의 $4x-3x$을 계산하면 $4x-3x=\left(4-3\right)x=x$가 되어 우변과 같다. 

즉 좌변과 우변이 같아지는 특징을 보고 항등식인 것을 알아낼 수 있기도 하다.

하지만 항등식이 무엇이냐 묻거든, $x$값에 관계없이 항상 성립하는 식이라 말하면 좋다.

몇 가지 예를 더 살펴보자.

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$$4x+5x=9x$$

이 식에서 $좌변=4x+5x=\left(4+5\right)x=9x$이고, 우변은 $9x$가 되어 좌변=우변이 된다.

즉 이 식은 항등식이다.

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$$\frac{1}{3}\left(3x+6\right)=3x+1$$

위 식에서 $좌변=\frac{1}{3}\left(3x+6\right)=\frac{1}{3}\times 3x+\frac{1}{3}\times 6=x+2$이고, 우변은 $3x+1$이므로 $좌변\neq 우변$이다. 즉 좌변과 우변이 다르기 때문에  위 식은 항등식이 아니다.

 

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지금까지 항등식인지 아닌지를 알아보았다.

그렇다면 다음 예제부터는 항등식이 되도록 하는 상수 $a$, $b$값을 찾아보자.

참고로 상수는 숫자라는 뜻이다.

 

$$ax+b=-x+2$$

위 식이 항등식이 되기 위해서는 좌변과 우변이 같아야 한다.

즉 좌변의 $x$의 계수는 $x$의 계수끼리 상수항은 상수항끼리 같아야 한다.

다시 말하자면 모양이 완전히 같아야 한다.

따라서 $a=-1$이고 $b=2$가 되어야 한다.

 

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$$ax-\frac{1}{2}=4x+b$$

위 식이 항등식이 되기 위해서는 $ a=4$이어야 하고 $b=\frac{1}{2}$ 이어야 한다.

 

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$$2x-3=A+1$$

위 식이 항등식이 되기 위한 $A$를 찾고자 한다.

즉 위 식이 항등식이 되기 위해서는 좌변과 우변이 같아야 한다.

따라서 $A+1=2x-3$이 되어야 한다.

또한 $1$을 더해서 $2x-3$이 되어야 하므로, $A=2x-4$가 되어야 한다.

그래야 $2x-4$에서 $1$을 더하면 $2x-3$이 되기 때문이다.