중1 수학. 이항

이항

이항이란 등식의 성질을 이용하여 등식의 한 변에 있는 항을 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것이다.

중요하다. 이항이란 단순히 부호를 바꿔 옮기는 게 끝이 아니다. 반드시 등식의 성질을 이용한 것이다.

예를 들어 보자.

$$3x-1=2x+3$$

$$3x-1-2x=2x+3-2x$$

$$3x-1-2x+1=2x+3-2x+1$$

$$3x-2x=3+1$$

이 식에서 두번쨰 줄의 식은 양 변에 $2x$를 빼서 쓴 것이다.

세 번째 줄의 식은 두 번째 줄에서 양 변에 각각 $1$을 더한 것이다.

네 번째 줄의 식에서 좌변은 $-1+1$을 계산했고, 우변은 $2x-2x$를 계산한 결과이다.

그리하여 첫 번째 줄의 식과 마지막 줄의 식을 살펴보자.

$$3x-1=2x+3$$

$$3x-2x=3+1$$

첫번째 줄의 식과 마지막 줄의 식을 정리하였다.

이렇게 우변에 있던 $2x$가 좌변으로 이사를 가면서 부호가 바뀐 것이다.

이렇게 좌변에 있던 $-1$이 우변으로 이사를 가면서 부호가 바뀐 것이다.

이렇게 이사를 갔다는 표현이 곧 이항이다.

그리고 결정적으로 이항을 해서 부호가 바뀐 것으로 보인다.

하지만 여러분은 반드시 이항은 부호 바꾸는 것이라고 암기해서는 안된다

반드시 등식의 성질을 이용하여 계산하였기 때문에 그 결과가 마치 부호가 바뀐 것처럼 보인다는 것으로 이해해야 한다.

등식의 성질을 이용하여 양 변을 더하고, 빼서 계산을 해보니 내가 이항한 것이 좌변이나 우변으로 옮겨져서 부호가 바뀐 것처럼 보인다라고 알고 있어야 한다.

마지막으로 더 강조하자면 이항은 등식의 성질을 이용한 것이다.

 

자 그럼 등식의 성질을 이용하여 이항을 해보도록 하겠다.

각 첫 줄의 식에서 밑줄 친 부분을 이항 하도록 하겠다.

그리고 이항의 목표는 일차방정식의 해를 구하는 것이 결국 목표가 될 것이다.

$$3x+\underline{2}=7$$

$$3x+2-2=7-2$$

$$3x+0=7-2$$

$$3x=7-2$$

이렇게 좌변에 밑줄 친 $2$가 우변으로 이항 하면서 부호가 바뀐 것처럼 보일 것이다. 

 

한번 더 이항 해보자.

$$\underline{3}-2x=\underline{3x}-7$$

$$3-2x-3-3x=3x-7-3-3x$$

$$-2x-3x=-7-3$$

 

몇 가지 더 해보자.

$$2x+\underline{1}=\underline{x}$$

$$2x+1-x-1=x-x-1$$

$$2x-x=-1$$

 

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이렇게 이항을 여러 번 하다 보면, 이제 등식의 성질은 가볍게 생략하게 된다,

풀이과정을 생략하면서 이항을 자리 바꾸면서 부호 바꾸기라고 생각하게 되는 것이다.

결과론적으로는 맞는 말이지만, 여러분은 반드시 등식의 성질을 이용하여 계산한 결과가 부호 바뀐 것으로 나타난 것임을 알아야 한다. 

자 그럼 풀이를 생략한 이항을 살펴보자

$$4x+\underline{1}=-2$$

$$4x=-2-1$$

이렇게 간단해지게 된다. 그러니 학생들이 응 부호 바꾸면 그만이야라고 생각하게 되는 것이다.

반드시 등식의 성질을 이용한 것임을 다시 한번 깨닫기 바란다.

몇 가지 더 예를 살펴보자

$$\underline{3}-2x=5\underline{-7x}$$

$$-2x+7x=5-3$$

 

$$x\underline{-9}=3\underline{-5x}$$

$$x+5x=3+9$$

자 이렇게 해서 이항에 대한 설명을 마치겠다.

다음 글에서는 일차방정식에 대하여 정리해 보겠다.

다음 글을 읽기 전 다항식의 차수, 그리고 방정식이 무엇인지 미리 알고 나서 일차방정식을 배우면 많은 도움이 될 것이다.