중1수학. 삼각형의 합동을 이용한 고난이도 문제풀이

삼각형의 합동을 이용한 고난도 문제풀이

남의 집에가서 탐색하는 용맹한 앵두

아래 그림은 학생들이 자주 질문하던 문제이다.

어느 문제집인지는 나도 모른다.

문제

 

이 문제를 해결하기 위해서는 먼저 삼각형의 합동 조건을 알아야 한다.

두 삼각형이 합동이기 위한 조건은 세 가지가 있다.

첫째, 세 변의 길이가 같을  때이다. 이것을 $SSS$합동이라 한다.

둘째, 두 변의 길이와 끼인각이 같을 때 이다. 이것을 $SAS$합동이라 한다.

셋째, 한 변의 길이와 양 끝각이 같을 때 이다. 이것을 $ASA$합동이라 한다.

 

또한 이 문제를 해결하기 위해서는 엇각을 이용해야 한다.

특히 두 직선이 평핼할 때 엇각과 동위각의 크기는 서로 같다는 성질을 이용해야 한다.

 

자 그럼 이제 풀이를 적어보겠다.

글로 보는 풀이가 힘들때는 아래 사진에 풀이과정을 적어두었으니 참고하도록 하자.

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먼저 점 $A$에서 $\overline{BC}$에 평행한 직선을 긋고 나서 선분$CM$의 연장선과 만나는 점을 $N$이라 하자.

 

그러면 문제의 조건에 의해 $\overline{AM}=\overline{BM}$이다.

또한 $\angle{AMN}=\angle{BMC}$이다. 그 이유는 맞꼭지각의 크기는 서로 같기 때문이다.

마지막으로 $\angle{NAM}=\angle{CBM}$이다. 그 이유는 두 평행선 사이에 엇각의 크기는 같기 때문이다.

즉 두 삼각형이 한 변의 길이와 양끝각이 같아서 합동이 되는데 , 그 합동조건이 $ASA$합동이다.

그것을 기호로 쓰면 아래와 같다.

따라서 $\triangle{NAM} \equiv \triangle{BCM} \left(ASA\right)$이다.

또한 $\overline{AD}=\overline{BC}$이고 $\triangle{NAM} \equiv \triangle{BCM}$이므로 $\overline{AN}=\overline{BC}$가 되기 때문에, $\overline{AN}=\overline{AD}$가 되어 $\triangle{AND}$는 이등변 삼각형이 된다.

따라서 $\angle{AND}=\angle{ADN}=36^{o}$가 된다.

또한 문제에서 구하고자 하는 $\angle{C}=\angle{AND}$(엇각) 이므로 $\angle{C}=36^{o}$가 된다.