연립방정식의 풀이- 대입법

연립방정식의 풀이- 대입법

 

연립방정식의 대입법이란 한 일차방정식을 하나의 미지수에 대하여 정리하고 이를 다른 일차방정식에 대입하는 방법이다.

이렇게 말로만 개념을 이야기하면 그 누구도 단번에 알아차리기 힘들 것이다.

 

일단 대입법을 풀기 위한 순서를 정하자.

1. 한 일차방정식을 하나의 미지수에 대하여 정리하자.

2. 다른 일차방정식에 대입하여 방정식을 풀자.

3. 다른 미지수의 값을 구하여 연리방정식의 해를 구하자.

 

이렇게 세 가지 순서만 지키면 대입법을 푸는 데 문제는 없을 것이다.

 

자 이제 실제 문제를 통해 세가지 순서로 직접 풀어보자.

 

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연립방정식

$\begin{cases}x-y=1 \\ x+2y=4 \end{cases}$

을 풀어보자.

 

1. 한 일차벙정식을 하나의 미지수에 대하여 정리하자.

위 문제의 첫 번째 식에서 $x$를 $y$에 관한 식으로 나타내면 아래와 같다.

$x=1+y$

 

2. 다른 일차방정식에 대입하여 방정식을 풀어보자.

 

1번에서 $x=1+y$를 첫번째 문제의 두 번째 식인 $x+2y=4$에 대입해 보자.

그러면 $\left(1+y\right)+2y=4$이다.

이 식을 정리하면 $3y=3$이 되어 최종적으로 $y=1$이 된다.

 

3. 다른 미지수의 값을 구하여 연립방정식의 해를 구하자.

 

자 이제 $y=1$이 나왔으므로 이 식을 어느 곳에 대입하든 상관은 없다.

하지만 이 식을 아무래도 2번 순서에서 나왔던 식인 $x=4+y$에 $y=1$을 대입해 보자.

그러면 $x=1+1=2$가 된다.

 

따라서 이 연립방정식의 해는 $x=2,~y=1$이 된다.

 

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마지막으로 하나만 더 예를 들어보자.

연립방정식

$\begin{cases}x+y=7 \\ 2x-y=5 \end{cases}$를 풀어보자.

 

1. 한 일차방정식을 하나의 미지수에 대하여 정리하자.

그렇다면 위 문제에서 첫 번째 식인 $x+y=7$을 $x$에 대하여 정리하면 아래와 같다.

$x=7-y$

 

2. 다른 일차방정식에 대입하여 방정식을 풀기.

 

1번에서 $x$에 대하여 정리한 식 $x=7-y$를 $2x-y=5$에 대입해 보자.

그러면, $2\left(7-y\right)-y=5$가 되어 이 식을 정리해 보자.

괄호를 풀면 $14-2y-y=5$가 된다.

이제 계산해 보자. $14-3y=5$, $\rightarrow -3y=-9$가 되어 $y=3$이 된다.

 

3. 다른 미지수의 값을 구하여 연립방정식의 해를 구하자.

자 이제 $y=3$이 나왔으므로 1번에서 나왔던 식인 $x=7-y$에 $y=3$을 대입해 보자.

$x=7-3$ 따라서 $x=4$가 된다.

 

이렇게 하여 이 문제의 연립방정식의 해는 $x=4,~y=3$이 되는 것이다.