중1 수학. 소인수분해를 이용하여 약수 구하기

소인수분해를 이용하여 약수 구하기

자연수 $N=a^{m}\times b^{n}$ ($a, b$는 서로 다른 소수, $m, n$은 자연수)으로 소인수분해 될 때
1) $N$의 약수 $\Rightarrow$($a^{m}$의 약수)$\times $ $(b^{n}$의 약수)
이때 $a^{n}$의 약수는 $1, a, a^{2}, a^{3}, \cdots , a^{m}$이다.
더불어 $b^{n}$ 의 약수는 $1, b, b^{2}, b^{3}, \cdots , b^{n}$이다.
 
2) $N$의 약수의 개수  $\Rightarrow$ $\left( m+1\right)\times \left(n+1\right)$개
이때 $\left(m+1\right)$가 $a^{m}$의 약수의 개수이고, $\left( n+1\right)$가 $b^{n}$의 약수의 개수이다.
 
실제로 $80$을 소인수 분해하면 $80=2^{4}\times 5$이므로 $2^{4}$의 약수와 $5$의 약수를 각각 곱하는 표를 만들어서 약수와 약수의 개수를 구하는 것이 편리하다.
아래의 표처럼 말이다.

$\times$	1	5
1	$1\times 1=1$	$1\times 5=5$
2	$2\times 1=1$	$2\times 5=10$
$2^{2}=4$	$4\times 1=4$	$4\times 5=20$
$2^{3}=8$	$8\times 1=8$	$8\times 5=40$
$2^{4}=16$	$16\times 1=16$	$16\times 5=80$

 
따라서 80의 약수는 1, 2, 4, 8, 10, 16, 20, 40, 80이다.
또한 약수의 개수는 $\left(4+1\right)\times \left(1+1\right)=10$개이다.
 
참고로 자연수 $N=a^{m}\times b^{n}$의 약수의 총합
$\Rightarrow$ $\left( 1+a+a^{2}+\cdots +a^{m}\right)$  $ \times$   $ \left(1+b+b^{2}+b^{3}+\cdots +b^{n}\right)$이다