정리. R의 영과 단위원은 각각 유일하다.

R의 영과 단위원은 각각 유일하다.

증명

$0$과 $0^\prime$이 $R$의 영이라고 하자. 그러면 영의 정의에 의해

$$0+0^\prime =0$$

이고, 또한 $0^\prime $이 $R$의 영이므로 $0$의 정의에 의해 

$$0^\prime +0=0^\prime$$

이다. 그런데 덧셈의 교환법칙에 의해 $0+0^\prime =0^\prime +0$이므로

$$0^\prime = 0+0^\prime = 0^\prime +0=0$$

이다. 따라서 $0=0^\prime $ 이다.

 

다음으로, $1$과 $1^\prime$이 $R$의 단위원이라 하면 단위원의 정의에 의해

$1\cdot 1^\prime = 1^\prime $ 이고 $1^\prime \cdot 1=1$

이므로 곱셈에 관한 교환법칙에 의해 $1=1^\prime$이 된다.

---

참고로 증명을 하는 기법 중 하나가 있다.

유일하다는 증명을 할 때는 두 개가 있다고 시작해서 그 두개가 같다고 증명이 끝나면 유일하다는 증명을 이끌어 낼 수 있다.