역원의 유일성

역원의 유일성

정리. 임의의 $a\in R$에 대하여 $a+x=0$을 만족시키는 $x\in R$가 유일하게 존재한다. 또한, $0$이 아닌 각 $a\in R$에 대하여 $a\cdot x=1$을 만족시키는 $x\in R $가 유일하게 존재한다.
 
증명.
$a+x=0$과 $a+x^\prime =0$을 만족시키는 $x, x^\prime \in R$이 존재한다고 할 때, $x=x^\prime$임을 보이면 된다.
그런데, 
$$x=x+0=x+\left(a+x^\prime\right)=\left(x+a\right)+x^\prime $$
$$=\left(a+x\right)+x^\prime=0+x^\prime =x^\prime$$
이므로 $x=x^\prime$이다.
 
같은 방법으로, $a\cdot x=1$과 $a\cdot x^\prime = 1$을 만족시키는 $x, x^\prime \in R$이 존재할 때
$$x=x\cdot 1=x\cdot\left(a\cdot x^\prime \right)=\left(x\cdot a \right)\cdot x^\prime $$
$$=\left(a\cdot x\right)\cdot x^\prime = 1\cdot x^\prime =x^\prime $$
이므로 $x=x^\prime$이다.