체의 공리

체의 공리

집합 $R$ 위에 정의된 두 연산 $+$와 $\cdot$은 다음의 체의 공리를 만족한다.

즉 $+$ 와 $\cdot$에 관하여 다음의 성질을 만족한다.

 

$A1$. 임의의 $a, b \in R$에 대하여 

 $a+b=b+a$ (덧셈에 관한 교환법칙)

 

$A2$. 임의의 $a, b \in R$에 대하여 

$\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$ (덧셈에 관한 결합법칙)

 

$A3$. 특정한 $0\in R$이 존재하여, 임의의 $a\in R$에 대해

$a+0=0+a=a$

가 성립한다. 이러한 $0\in R$을 영(zero)이라고 부른다.

 

$A4$. 각 $a \in R$에 대하여 

$a+x=x+a=0$

을 만족시키는 $x \in R$가 존재한다. 이 $x$를 덧셈에 관한 $a$의 역원(additive inverse of $a$)이라고 한다.

 

$M1$.  임의의 $a, b\in R$에 대하여 

$a\cdot b=b\cdot a$ (곱셈에 관한 교환법칙)

 

$M2$. 임의의 $a,b,c\in R$에 대하여 

$\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot\left(b\cdot c\right)$ (곱셈에 관한 결합법칙)

 

$M3$. 특정한 $1\left(\neq 0\right)\in R$이 존재하여, 임의의 $a\in R$에 대해

$a\cdot 1=1\cdot a=a$

가 성립한다. 이러한 $1\in R$을 단위원(identity)이라고 부른다.

 

$M4$. $0$이 아닌 각 $a\in R$에 대하여

$a\cdot x=x\cdot a=1$

을 만족시키는 $ x\in R$가 존재한다. 이 $x$를 곱셈에 관한 $a$의 역원(multiplicative inverse of $a$)이라고 부른다.

 

$D$. 임의의 $a, b, c \in R$에 대하여

$a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c$(배분법칙)