위로 유계, 아래로 유계, 상계, 하계, 유계

위로 유계, 아래로 유계, 상계, 하계, 유계

정의.

$R$의 부분집합 $S\left(\neq\varnothing\right)$에 대하여 명제 

모든 $x\in S$에 대하여 , $x\leq u$인 $u\in R$가 존재한다.

를 만족할 때, 집합 $S$는 위로 유계라고 한다.

이때, $u\in R$을 $S$의 상계라고 한다. 

또한 $S$가 위로 유계인 동시에 아래로 유계일 때는 $S$는 유계라고 한다.

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마찬가지로 아래로 유계는 반대로 설명할 수 있다.

$R$의 부분집합 $S\left(\neq\varnothing\right)$에 대하여 명제

모든 $x\in S$에 대하여 , $x\geq u$인 $u\in R$가 존재한다.

를 만족할 때, 집합 $S$는 아래로 유계라고 한다.

이때, $u\in R$을 $S$의 하계라고 한다. 

 

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쉽게 말해서 실수의 공집합이 아닌 부분집합 $ S$에 대하여 

그 $S$의 원소들이 어떤 $u$값을 넘지 못하고 그 보다 작거나 같은 원소들만 있다면

위로 막혀있다는 의미이다. 그것을 고급스럽게 위로 유계라고 한다.

 

마찬가지로 실수의 공집합이 아닌 부분집합 $S$에 대하여 

그 $S$의 원소들이 어떤 $u$값 보다 작아지는 원소는 없이 항상 $u$보다 크거나 같은 원소들만 있다면 

아래에 경계선이 있다는 것이다. 그것을 아래로 유계라고 한다.

 

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예룰둘어 집합 $S=\{x \in R | x <1 \}$은 위로 유계이다. 이때, $1, 2, 2.3, 4, 5, \cdots $들은 모두 $S$의 상계가 된다. 

또한 $S$는 아래로 유계가 아니다.