중1수학. 두 분수를 자연수로 만들기

두 분수를 자연수로 만들기

1. 분모가 같은 두 분수를 자연수로 만들기

 $\frac{a}{n},  \frac{b}{n} $가 모두 자연수인 경우에 $n$은 $a$의 약수이면서 $b$의 약수이다.

즉 $n$은 $a$와 $b$의 공약수이다

이 말을 보고 완벽하게 이해하기란 여간 쉬운일이 아니다. 따라서 문제를 통해서 다시 한번 해설하겠다.

 

아래의 문제를 살펴보자.$$\frac{12}{n}, \frac{16}{n} $$

$\frac{12}{n}$가 자연수가 되기 위해서는 $n$의 값이 12의 약수이어야 한다.

그 이유는 $n$이 1이면 $\frac{12}{1}$이 되어 12가 되고 $n$이 2가 되면 $\frac{12}{2}$가 되어 자연수 6이 되는 식이다.

따라서 $\frac{12}{n}, \frac{16}{n} $이 자연수가 되기 위해서는 $n$은 12와 16의 공약수가 되어야 하고, 공약수를 쉽게 구하기 위해 12와 16의 최대공약수의 약수를 구하면 된다.

즉 12와 16의 최대공약수인 4의 약수이다.

다시 말하면 $n$은 1,2,4가 된다.

2. 분자가 같은 두 분수를 자연수로 만들기

$\frac{n}{a}, \frac{n}{b}$가 모두 자연수가 되려면 $n$은 $a$의 배수이면서 $b$의 배수이어야 한다. 따라서 $n$은 $a$와 $b$의 공배수이다. 그리고 공배수를 쉽게 구하려면, $a, b$의 최소공배수의 배수가 공배수가 된다.

문제를 통해 다시 한번 설명하겠다.

아래의 문제를 보자 $$\frac{n}{18}, \frac{n}{24}$$ 이 문제를 보고 자연수로 만드는 방법으로는 $\frac{n}{18}$에서 $n$이 18의 배수이어야 한다. 즉 $n$이 18이면 $\frac{18}{18}=1$이 되는 것이다. 다시 한번 $n$이 36이 되면 $\frac{36}{18}=2$가 되는 것이다. 따라서 $\frac{n}{18}, \frac{n}{24}$가 자연수가 되기 위해서는 $n$은 18과 24의 공배수가 되어야 한다.

즉 $n$은 두 수의 최소공배수인 72의 배수가 되어야 하고, 특히 $n$이 가장 작은 자연수라면 72가 답이 되는 것이다.

 

3. 두 분수를 자연수로 만드는 분수 구하기

아래의 문제를 보자

두 분수 $\frac{10}{21}, \frac{35}{6}$의 어느 것에 곱하여도 그 결과가 자연수가 되게 하는 가장 작은 기약분수를 구하시오.

이 문제를 풍기 위해서는 작전을 세워야 한다. 

두 분수에 어느 것을 곱해도 자연수가 되게 하는 가장 작은 기약분수를 구하라 했다.

가장 작은 기약분수이다. 한 번 더 말하자면 가장 작은 분수이다.

가장 작은 분수란, 분모는 엄청 크고, 분자는 엄청 작아야 한다.

자 그럼 이제 단계별로 설명하겠다.

1단계, 가장 작은 기약분수를 $\frac{B}{A}$라 하자.

2단계, $\frac{10}{21}\times\frac{B}{A}$가 자연수이다. 즉 $A$는 10의 약수, $B$는 21의 배수가 된다.

 $\frac{35}{6}\times\frac{B}{A}$가 자연수이다. 즉 $A$는 35의 약수, $B$는 6의 배수가 된다.

3단계, $A$는 10과 35의 최대공약수이고, $B$는 21과 6의 최소공배수가 되므로 $$\frac{B}{A}=\frac{42}{5}$$가 된다.

위의 글에서 분모는 커야 하므로 최대공약수, 분자는 작아야 하므로 최소공배수인 이유를 파란색과 빨간색으로 구분하여 알아볼 수 있게 하였다.

 

마지막으로 정리하자면

$\frac{B}{A}$가 가장 작은 분수가 되려면 분모는 최대공약수, 분자는 최소공배수가 되어야 한다.