고등 수학. 나머지 정리 문제 풀이.

나머지 정리를 이용한 문제풀이

문제.

다항식 $f\left(x\right)=x^{3}+x^{2}-x-10$에 대하여 다음 일차식으로 나눌 때의 나머지를 구하시오.
(1) $x-1$
(2) $x-2$
(3) $3x-5$
 

필요한 개념

1. 초등과정의 나눗셈에서 검산식. 
 $10\div 6$은 몫이 $1$이고 나머지가 $4$이다.
이를 검산식으로 표현하면 $10=6\times 1 +4$
 
2. 다항식의 나눗셈 
다항식 $A$를 $B$로나누었을 때 몫을 $Q$, 나머지를 $R$이라 하자.
그러면 $A=BQ+R$이다.
 
3. 다항식 $f\left(x\right)$를 $x-1$로 나눈 몫을 $Q$, 나머지를 $R$이라 하자.
그러면 $f\left(x\right)=\left(x-1\right)Q+R$이다.
이때 $R$은 $f\left(1\right)$이다.
 

풀이.

문제를 다시 한번 적어보겠다.
 
다항식 $f\left(x\right)=x^{3}+x^{2}-x-10$에 대하여 다음 일차식으로 나눌 때의 나머지를 구하시오.
(1) $x-1$
(2) $x-2$
(3) $3x-5$
 
1) $f\left(1\right)=1+1-1-10=-9$
2) $f\left(2\right)=2^{3}+2^{2}-2-10=0$
3) $f\left(\frac{4}{3}\right)=\left(\frac{5}{3}\right)^{3}+ \left(\frac{5}{3}\right)^{2}- \left(\frac{5}{3}\right)-10$
$=-\frac{115}{27}$
 

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