중3 수학. 제곱근의 소수 부분을 이용한 문제 풀이

중3 수학. 제곱근의 소수 부분을 이용한 문제 풀이

문제.

$\left(\sqrt{10}-3\right)^{100}$의 소수 부분을 $k$라 할 때, $\left(\sqrt{10}+3\right)^{100}k$를 구하여라.
 

필요한 개념

1. 곱셈공식 (합차공식) $\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}$
2. 지수법칙 $a^{x}\times b^{x}=\left(a\times b\right)^{x}$
3. 제곱근의 소수범위 찾기.
 예를들어 $\sqrt{5}$의 소수부분과 정수 부분을 찾아보자.
 $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$이므로 
$2<\sqrt{5}<3$이다. 따라서 $\sqrt{5}=2.xxxxx $이다.
그러므로 $\sqrt{5}$의 정수 부분은 2이고 소수 부분은 0.xxxxx이다. 그 소수 부분을 좀 더 자세히 구해보자.
$2<\sqrt{5}<3$에서 양변에 2를 빼보자.
$0<\sqrt{5}-2<1$ 따라서 $\sqrt{5}$의 소수부분은 $\sqrt{5}-2$이다.
 

문제풀이.

먼저 문제를 다시 한번  확인하면서 풀어보자.
$\left(\sqrt{10}-3\right)^{100}$의 소수 부분을 $k$라 할 때, $\left(\sqrt{10}+3\right)^{100}k$를 구하여라. 
 
$ 3<\sqrt{10}<4$이고 양변에 $3$을 빼자.
$0<\sqrt{10}-3<1$
따라서 $\sqrt{10}-3$의 소수 부분은 $0.xxxxxx\cdots$이다. 
그 소수 부분에 100 제곱을 하더라도 계속하여 $0.xxxxxxx\cdots$가 된다.
즉 $\left(\sqrt{10}-3\right)^{100}=\left(0.xxxxx\cdots \right)^{100}=k$이다.
이제 문제에서 구하고자 하는 것을 풀어보자.
$\left(\sqrt{10}+3\right)^{100}\times k$
$=\left(\sqrt{10}+3\right)^{100}\left(\sqrt{10}-3\right)^{100}$
$=\big\{\left(\sqrt{10}+3\right)\left(\sqrt{10}-3\right)\big\}^{100}$
$=\left(10-9\right)^{100}=1^{100}=1$이다.

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