중3 수학. 이차방정식의 활용-잘못 세운 식

문제.

어떤 수 $x$에 $11$을 더하여 제곱해야 할 것을 잘못하여 $x$에 $11$을 더하여 $3$배를 하였는데, 그 결과가 같았다. 이때, $x$의 두 근의 곱은?
 

필요한 개념

1. 인수분해
 예를들어 $x^{2}+3x+2=0$을 인수분해 하는 방법을 알아보자.
상수항 $2$와 $x$의 계수 $3$을 보고 곱해서 $2$가 되고 더해서 $3$이 되는 수를 찾아보자.
곱해서 $2$가 되고 더해서 $3$이 되는 두 수는 $1$과 $2$이다.
따라서 $x^{2}+3x+2=0$을 인수분해 하면 $\left(x+1\right)\left(x+2\right)=0$이다.
 
2. 이차방정식의 두 근의 합과 두 근의 곱
$ax^{2}+bx+c=0,~\left(a\neq0\right)$에서 
두 근의 합은 $\large{-\frac{b}{a}}$이다.
두 근의 곱은 $\large{\frac{c}{a}}$
 

풀이.

먼저 문제를 다시 한번 보자.
어떤 수 $x$에 $11$을 더하여 제곱해야 할 것을 잘못하여 $x$에 $11$을 더하여 $3$배를 하였는데, 그 결과가 같았다. 이때, $x$의 두 근의 곱은?
 
이 문제를 보고 이차방정식을 세워보자.
$\left(x+11\right)^{2}=3\left(x+11\right)$
이 식을 정리해 보자.
$x^{2}+22x+121=3x+33$
$x^{2}+19x+88=0$
문제에서 두 근의 곱을 구하라 하였으므로
두 $x$값의 곱은 $\large{\frac{88}{1}}$이다. 즉 정답 $88$이다.
 
다른 방법으로는 
$x^{2}+19x+88=0$을 인수분해하여 직접 $x$를 구해보자.
곱해서 $88$, 더해서 $19$가 나오는 두 숫자는 $8$과 $11$이다.
따라서 $x^{2}+19x+88=0$을 인수분해하면
$\left(x+8\right)\left(x+11\right)=0$이 되어 $x=-8$, 또는 $x=-11$이 된다.
이때 두 근의 곱은 $\left(-8\right)\times\left(-11\right)=88$이다.

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