중3 수학. 근의공식을 이용한 문제 풀이

문제.

이차방정식 $9x^{2}-6x+k+3=0$의 해가 $x=\large{\frac{1\pm\sqrt{3}}{3}}$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

 

필요한 개념

1. 근의 공식

$ax^{2}+bx+c=0$ (단, $a\neq0$) 일 때 $x= \Large{ \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}$

 

2. 근의 공식 (짝수)

$ax^{2}+2b'x+c=0$ (단, $a\neq0$) 일 때 $x= \Large{ \frac{-b'\pm\sqrt{b'^{2}-ac}}{a}}$

 

짝수공식을 하나 예를 들어보자.

$x^{2}+2x-1=0$에서 $x$의 값을 구해보자.

이때 $a=1,~b'=1,~c=-1$이다.

특히 $b'$은 $b$의 값을 $2$로 나누었기 때문에 $1$인 것이다.

 

$x^{2}+2x-1=0$의 $x$를 구해보자.

$x^{2}+2x-1=0$

$x= \Large{ \frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-\left(1\right)\times \left(-1\right)}}{1}}$

이것을 계산하면

$x=-1\pm\sqrt{2}$이다.

 

문제풀이.

풀이에 앞서 문제를 다시 한번 살펴보자.

이차방정식 $9x^{2}-6x+k+3=0$의 해가 $x=\large{\frac{1\pm\sqrt{3}}{3}}$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

 

$9x^{2}-6x+k+3=0$에서 $b'=-3$이다.

따라서 $x=\Large{\frac{3\pm\sqrt{9-9\left(k+3\right)}}{9}}=\Large{\frac{1\pm\sqrt{3}}{3}}$

여기서 우변의 분모 분자에 $3$을 곱해서 양변의 분모를 $9$로 맞추어주자.

즉 $x=\Large{\frac{3\pm\sqrt{9-9\left(k+3\right)}}{9}}=\Large{\frac{3\pm3\sqrt{3}}{9}}$

 $x=\Large{\frac{3\pm\sqrt{9-9\left(k+3\right)}}{9}}=\Large{\frac{3\pm\sqrt{27}}{9}}$

$9-9\left(k+3\right)=27$

$1-\left(k+3\right)=3$

$1-k-3=3$

$-2-k=3$

$-k=5$

$k=-5$이다.

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