중2 수학. 연립방정식의 활용 - 수에 대한 문제

중2 수학. 연립방정식의 활용 - 수에 대한 문제

어느 학년의 수하과목이든지 활용문제는 따로 개념이 정해져 있는 것은 아니다.

다만 많이 풀고 유형마다 풀이 방법을 연습하는 것이 좋다.

이번 글에서는 수에 대한 문제를 해결해 나가겠다.

많은 예제를 통해 연습을 해서 연립방정식 활용문제에 대한 고수가 되길 기원한다.

 

활용문제를 풀는 순서는 다음과 같다.

1. 미지수 $x,~y$정하기

2. 연립방정식 세우기

3. 연립방정식 풀기

4. 문제의 뜻에 맞는지 확인하기.

 

연립방정식을 일일이 푸는 과정은 과거 많은 글을 통해 배웠을 것이라 생각하고 진행하도록 하겠다.

 

문제. 

어떤 두 자연수의 합은 $37$이고, 큰 수는 작은 수의 $3$배보다 $5$만큼 클 때, 두 자연수를 구해보자.

 

풀이.

1. 큰 수를 $x$, 작은 수를 $y$라 하자.

 

2.  $\begin{cases}x+y=37 \\ x=3y+5 \end{cases}$

 

3. 이러한 연립방정식은 대입법이 편리하다. 

 따라서 두 번째 식을 첫 번째 식에 대입해 보자.

$3y+5+y=37$

$4y=32$

$y=8$

$y=8$을 첫 번째 식에 대입하면 $x+8=37$

$x=29$

따라서 작은 수는 $8$, 큰 수는 $29$이다.

 

4.  $8+29=37$

$8\times 3+5=29$이므로 우리가 구한 값은 문제의 뜻에 맞게 된다.

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문제.

어떤 두 자연수의 차가 $4$이고, 큰 수는 작은 수의 $2$배보다 $9$만큼 작다고 한다. 이때 큰 수를 구하여라.

 

풀이.

1. 두 자연수 중 큰 수를 $x$, 작은 수를 $y$라 하자.

 

2. 두 수의 차가 $4$이므로 $x-y=4$

  큰 수가 작은 수의 $2$배보다 $9$만큼 작으므로

$x=2y-9$이다.

따라서 연립방정식을 세우면 아래와 같다. 

 $\begin{cases}x-y=4 \\ x=2y-9 \end{cases}$

 

3. 이 연립방정식을 풀기 위해 대입법을 이용하자.

두 번째 식을 첫 번째 식에 대입하여 $x$와 $y$를 구하자.

그러면 $x=17,~y=13$이다.

 

4. 따라서 두 자연수 중 큰 수는 $17$이다.

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문제. 

두 자리의 자연수가 있다. 각 자리의 숫자의 합은 $10$이고, 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수는 처음 수의 $2$배보다 $1$만큼 작다고 한다. 이때, 처음 수를 구하여라.

 

풀기 전 알아야 할 사항

$45$라는 숫자를 살펴보자.

이 수는 십의 자리 수가 $4$이고 일의 자리 수가 $5$이다.

즉 $45=4\times 10+5\times 1$이다.

 

이러한 분석으로 비슷하게 십의 자리 숫자가 $x$이고 일의 자리 숫자가 $y$인 두 자리 숫자를 분석해 보자.

그러면 우리는 마냥 $xy$라고 써서는 안 된다.

그러면 우리는 어떻게 써야 하나?

십의 자리 수가 $x$이고 일의 자리 숫자가 $y$인 두자리 수는 아래와 같이 쓴다.

$10\times x+y\times 1$이다.

즉 $10x+y$인 것이다.

 

풀이.

1. 처음 수의 십의 자리 숫자를 $x$라 하고, 일의 자리 숫자를 $y$라 하자.

 

2. 각 자리의 숫자의 합은 $10$이므로 $x+y=10$이다.

 또한 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 바꾼 수는 $10y+x$이다.

그리고 각 자리를 바꾼 수는 처음 수의 $2$배보다 $1$만큼 작다는 것을 식으로 표현하면 아래와 같다.

 $10y+x=2\left(10x+y\right)-1$

따라서 문제에 따른 연립방정식을 세우면 아래와 같다.

 $\begin{cases}x+y=10 \\ 10y+x=2\left(10x+y\right)-1 \end{cases}$

 

3. 이 연립방정식을 풀면 $x=3,~y=7$이다.

 

4. 따라서 처음 수는 $37$이 된다.