교육

일차방정식의 활용 짝수문제를 살펴보자. 연속하는 세 짝수의 합이 $60$일 때, 세 짝수를 모두 구하여라.짝수는 $2, 4, 6, 8, \cdots $ 처럼 각 짝수의 차이는 $2$씩 차이가 난다. 따라서 세 짝수 중 가운데 짝수를 $x$라 두면, 세 짝수는 $$x-2, x, x+2$$로 둘 수 있다. 자 그럼 문제를 보고 식을 세워보자 세 짝수의 합이 $60$이라 하였으므로 $$\left(x-2\right)+x+\left(x+2\right)=60$$ $$3x=60$$ $$x=20$$ 따라서 가운데 짝수는 $20$이 된다. 문제에서 세 짝수를 구하라 하였으므로 세 짝수는 $18, 20, 22$가 되는 것이다.홀수문제도 마찬가지이다. 방법이 똑같다. 문제를 내보겠다. 연속하는 세 홀수의 합이 $111$일 ..

일차방정식의 활용 - 숫자실제 여러 가지 문제를 살펴보며 식을 세우고 풀어보자.어떤 수에 $10$을 더한 수는 어떤 수의 $4$배보다 $1$만큼 클 때, 어떤 수는 무엇일까?어떤 수를 $x$라 하자. 어떤 수에 $10$을 더한 수 : $ x+10$ 어떤 수의 $4$배보다 $1$만큼 크다. : $4x+1$ 즉 일차방정식을 세우면 $$x+10=4x+1$$ $$x-4x=1-10$$ $$-3x=-9$$ $$x=3$$ 따라서 어떤 수는 $3$이 된다.어떤 수의 $2$배에 $10$을 더한 수는 어떤 수의 $3$배와 같다. 어떤 수는 무엇일까?어떤 수를 $x$라 하자. 어떤 수의 $2$배에 $10$을 더한 수 : $2x+10$ 어떤 수의 $3$배 : $3x$ 즉 일차방정식을 세워보면 $$2x+10=3x$$ $$2x-..

해가 주어질 때, 미지수의 값 구하기일차방정식의 해가 주어졌을 때, 그 해를 이용하여 다른 문자를 구할 수 있다. 실제 예를 통해 알아보자. $3x+a=5x-2$ 의 해가 $x=2$라 해보자. 그렇다면 $x$대신에 $2$로 바꾸어 쓸 수 있다. 따라서 $$3\times 2+a=5\times 2-2$$ $$6+a=10-2$$ $$6+a=8$$ $$a=8-6$$ $$a=2$$ 이러한 풀이과정을 거쳐서 $a$의 값을 구할 수 있다.몇 가지 더 예를 들어보자. 일차방정식 $3x+a=6-2\left(1-2x\right)$의 해가 $x=-1$일 때, 상수 $a$의 값을 구해보자. 먼저 주어진 문제를 쓰고 풀이를 시작해보겠다. $$3x+a=6-2\left(1-2x\right)$$ 문제의 괄호를 풀어서 식을 쓰자. $..

비례식을 이용한 일차방정식의 풀이 비례식을 이용할 때는 내항의 곱과 외항의 곱이 같다는 점을 이용하여 풀어낸다. 초등학교 6학년때 배웠을 것이다. 하지만 잊어버렸기에 다시 정리해 보자 $$a:b=x:y$$ $$ay=bx$$ 비례식의 안쪽끼리 곱한 값과, 바깥쪽끼리 곱한 값이 각각 같다는 것이다. 실제로 이제 일차방정식의 풀이과정을 보면서 한줄한줄 이해해 보자. $$\left(4x+5\right):\left(x-5\right)=3:2$$ $$2\left(4x+5\right)=3\left(x-5\right)$$ $$8x+10=3x-15$$ $$8x-3x=-15-10$$ $$5x=-25$$ $$x=-5$$ 첫 번째 줄의 식에서 두 번째 줄의 식이 된 이유는 비례식의 내항의 곱이 외항의 곱과 같다는 점을 이용한..

복잡한 일차방정식의 풀이 계수가 분수와 소수가 함께 있는 일차방정식의 풀이 계수가 분수와 소수 함께 있는 경우 소수를 분수로 고친 후 분모의 최소공배수를 곱하여 푼다. 하지만 사실, 소수를 분수로 바꿀 필요는 없다. 왜냐하면 $0.1$이나 $0.4$같은 소수 첫째짜리까지 있는 경우는 $10$의 배수를 곱하면 된다. $0.12$, $0.43$와 같은 소수 둘째짜리까지 있는 경우는 $100$의 배수를 곱하면 된다. 실제 예를 들어가면서 설명해보도록 하겠다. $$\frac{1}{2}-\frac{4}{5}=0.2x-1$$ $$5x-8=2x-10$$ $$5x-2x=-10+8$$ $$3x=-2$$ $$x=-\frac{2}{3}$$ 첫 번째 줄의 식에서 두 번째 줄의 식이 된 이유는 양변에 $10$을 곱했기 때문이다..

계수가 분수인 일차방정식의 풀이 분수 형태의 일차방정식의 풀이는 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 정수로 고쳐서 푸는 것이 가장 쉽다. $$\frac{5}{6}x+1=\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}$$ $$5x+6=3x-4$$ $$5x-3x=-4-6$$ $$2x=-10$$ $$x=-5$$ 첫 번째 줄의 식에서 두 번째 줄의 식이 된 이유는 양변에 분모의 최소공배수인 $6$을 곱하였기 때문이다. 두 번째 줄의 식에서 세 번째 줄의 식이 된 이유는 $x$를 포함하는 모든 식은 좌변으로, 숫자는 우변으로 이항 했기 때문이다. 세 번째 줄의 식에서 네 번째 줄의 식이 된 이유는 양변의 동류항을 계산하여 $ax=b$의 모양으로 나타냈다. 네 번째 줄의 식에서 다섯 번째 줄의 식이 된 이유는 양..

계수가 소수인 일차방정식의 풀이 계수가 소수인 일차방정식을 풀 때에는 양변의 $10$의 거듭제곱을 곱하여 계수를 정수로 고쳐서 푸는 것이 편리하다. 괜히 고집부려서 난 할 수 있다고 생각하고 $10$의 거듭제곱을 곱하지 않고 소수로 푸는 친구들도 있다. 참 바보스럽다. 수학교재에서 알려주는 것은 가장 쉽고, 가장 빠르게 하는 규칙과 방법을 알려주는 것이다. 그런데도 고집을 부리는 학생들도 있다. 그런 친구들을 보면 참 답답함을 느낀다. 본인이 창의적이고 신박하게 해결해 나가고 싶은 생각은 알겠지만, 그런 방법은 이미 다 만들어져 있어서 교재로 여러분께 소개해 나가고 있는 것이다 이미 100년 200년 전에 유명한 수학자들이 신박한 방법들로 푼 것들을 이제는 책으로 만들어서 이게 쉬움! 이렇게 소개하고 있..

일차방정식의 풀이 일차방정식을 푸는 데 있어 괄호가 있는 경우 첫째, 분배법칙을 이용하여 괄호를 먼저 푼다. 둘째, $x$를 포함하는 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항 한다. 셋째, 양변을 계산하고 정리하여 $ax=b\left(a\neq 0\right)$의 모양으로 나타낸다. 넷째, 양변을 $x$의 계수로 나누어 $x$의 값, 즉 해를 구한다. 이렇게 글씨만 봐서는 도저히 알 수 없다. 적절한 예를 통하여 설명해 보겠다. $$3\left(x+4\right)=-2\left(x-1\right)$$ 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다. $$3\times x + 3\times 4=-2\times x-2\times \left(-1\right)$$ $$3x+12=-2x+2$$ $x$를 포함하는 항은 좌변으로, 상..

일차방정식 일차방정식이란 방정식에서 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때, $$\left(x에 대한 일차식\right)=0$$ 의 꼴이 되는 방정식이다. 몇가지 예를 들어 일차방정식인지 아닌지를 살펴보자. $$2x+1=x-5$$ $$2x+1-x+5=0$$ $$x+6=0$$ 첫번째 줄의 식에서 두 번째 줄의 식이 된 이유는 모든 항을 좌변으로 이항하였기 때문이다. 두 번째 줄의 식에서 세번째 줄의 식으로 된 이유는 동류항을 계산하여 좌변을 정리하였기 때문이다. 세번째 줄의 식에서는 $\left(일차식\right)=0$꼴이 되므로 이 식은 일차방정식이 된다. $$4x^{2}+1=4x^{2}-x+1$$ $$4^{2}+1-4x^{2}+x-1=0$$ $$1+x-1=0$$ $$x=0$$ 마지막 줄의 식..

이항 이항이란 등식의 성질을 이용하여 등식의 한 변에 있는 항을 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것이다. 중요하다. 이항이란 단순히 부호를 바꿔 옮기는 게 끝이 아니다. 반드시 등식의 성질을 이용한 것이다. 예를 들어 보자. $$3x-1=2x+3$$ $$3x-1-2x=2x+3-2x$$ $$3x-1-2x+1=2x+3-2x+1$$ $$3x-2x=3+1$$ 이 식에서 두번쨰 줄의 식은 양 변에 $2x$를 빼서 쓴 것이다. 세 번째 줄의 식은 두 번째 줄에서 양 변에 각각 $1$을 더한 것이다. 네 번째 줄의 식에서 좌변은 $-1+1$을 계산했고, 우변은 $2x-2x$를 계산한 결과이다. 그리하여 첫 번째 줄의 식과 마지막 줄의 식을 살펴보자. $$3x-1=2x+3$$ $$3x-2x=3+1$$ 첫번째 줄의 식..