고등수학 용어정리. 켤레복소수

켤레복소수

1. 복소수 $z=a+bi$($a,~b$는 실수)에 대하여 $a-bi$를 $z$의 켤레복소수라 하고, $\overline{z}$로 나타낸다.

 

즉 $\overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi$이다. 

 

2. 켤레복소수의 성질

 두 복소수 $z_{1},~z_{2}$에 대하여, 

 

(1) $\overline{\overline{z_{1}}}=z_{1}$

 

(2) $\overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}$

 

     $\overline{z_{1}-z_{2}}=\overline{z_{1}}-\overline{z_{2}}$

 

(3) $\overline{z_{1}z_{2}}=\overline{z_{1}}\cdot\overline{z_{2}}$ 

  

(4) $\Large \overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}$(단, $z_{2}\neq0$)

 

(5) $z_{1}\overline{z_{1}}$는 실수

 

(6) $z_{1}+\overline{z_{1}}$는 실수

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복소수 $\Large z=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$의 특징

$\Large z=\frac{1+ \sqrt{3}i}{2}$에서 $2z-1=\sqrt{3}i$

이 식을 양변에 제곱을 하면 

$\left(2z-1\right)^{2}=-3$

$4z^{2}-4z+4=0$

$z^{2}-z+1=0$

이 식의 양변에 $z+1$을 곱하자.

$\left(z+1\right)\left(z^{2}-z+1\right)=0$

$z^{3}+1=0$

$z^{3}=-1$

 

마찬가지로 $\Large \overline{z}=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$일 때도 $\overline{z}^{3}=-1$이 성립한다.