고등수학 용어정리. 복소수가 서로 같을 조건, 사칙연산

1. 복소수가 서로 같을 조건.

두 복소수 $a+bi,~c+di$($a,~b,~c, ~d$는 실수)의 실수 부분과 허수 부분이 각각 같을 때, 

즉 $a=c,~b=d$일 때, 두 복소수는 '서로같다'고 하고 $a+bi=c+di$로 나타낸다.

특히, $a+bi=0$이면, $a=0,~b=0$이다.

 

예를들어 하나만 설명하겠다.

 복소수 $a+bi=3i$라 해보자. 그렇다면 $a=0,~b=3$이다.

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2. 복소수의 사칙연산

$a,~b,~c,~d$가 실수일 때, 

 (1) $\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i$

한국말로 해석하자면, 복소수의 덧셈을 할 때  실수 부분은 실수 부분끼리, 허수 부분은 허수 부분끼리 덧셈계산을 하는 것이다.

 

 (2) $\left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i$

한국말로 해석하자면, 복소수의 뺄셈을 할 때  실수 부분은 실수 부분끼리, 허수 부분은 허수 부분끼리 뺄셈계산을 하는 것이다.

 

(3) $\left(a+bi\right)\left(c+di\right)=\left(ad-bc\right)+\left(ad+bc\right)i$

이 부분은 곱셈을 할 때 하나씩 분배법칙을 이용하여 계산하는 것이다.

시험에 나올 때는 일일이 분배법칙을 하면서 계산을 하면 시간이 오래 걸리므로, 암기를 해서 바로 해결해 나가는 것이 좋다.

 

분배법칙을 해서 위 과정이 나오는 것을 보여주겠다.

$\left(a+bi\right)\left(c+di\right)$

$=ac+adi+bci+bdi^{2}$

$=ac+adi+bci-bd$ ($i^{2}=-1$이기 때문이다.

$=\left(ad-bc\right)+\left(ad+bc\right)i$ ($i$가 있는 부분과 없는 부분끼리 묶어준 것이다.)

 

(4) $\Large \frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}i$

 

참고로 이 식은 분자, 분모에 $c+di$의 켤레복소수 $c-di$를 곱하여 정리한 것이다.

이것을 분모의 실수화라고 한다.

 

3. 분모가 순허수인 경우 분수의 계산.

분모가 순허수인 경우에 계산을 알아보자.

실수 $a,~b,~c$($c\neq0$)에 대하여, 

 

$\Large \frac{a+bi}{ci}=\frac{\left(a+bi\right)i}{ci\times i}$

 

$=\Large\frac{-b+ai}{-c}$

 

$=\Large\frac{b}{c}-\frac{a}{c}i$