고등수학. 절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이

절댓값이 있는 부등식 풀이

문제.

양수 $a,~b$에 대하여 부등식 $\lvert x \rvert +\lvert x-a\rvert<b$를 만족시키는 정수 $x$의 개수를 $f\left(a,~b\right)$라 할 때, $f\left(n,~n+4\right)=15$를 만족시키는 자연수 $n$의 값을 구하시오.

 

필요한 개념

1. 절댓값 기호를 포함한 부등식을 풀 때에는

 $ \lvert a \rvert = \begin{cases}a & a \geq 0\\ -a & a < 0\end{cases} $ 임을 이용하여 절댓값 기호를 없앤 후 푼다.

 

2. 부등식에서 자연수 또는 정수를 세는 방법

 $-5<x<10$일 때 정수 $x$개수는 $10-\left(-5\right)-1=14$개이다. 

즉 부등식에서 양쪽에 등호가 없다면 뒤 숫자- 앞숫자-1을 해주면 된다.

 

$-5\leq x<10$일 때 정수 $x$의 개수는 $10-\left(-5\right)=15$개이다.

마찬가지로 $-5<x\leq 10$일 경우에도 $10-\left(-5\right)=15$개이다.

즉 부등식에서 둘 중 하나에 등호가 있다면 뒤 숫자-앞 숫자를 하면 된다.

 

$-5\leq x \leq 10$ 일 때 정수 $x$의 개수는 $10-\left(-5\right)+1=16$개이다.

즉 부등식에서 양쪽 둘다 등호가 있다면 두 숫자 - 앞숫자 +1을 하면 된다.

 

풀이

 

먼저 문제를 꼼꼼하게 다시 한번 읽어보자.

 

양수 $a,~b$에 대하여 부등식 $\lvert x \rvert +\lvert x-a\rvert<b$를 만족시키는 정수  $x$의 개수를 $f\left(a,~b\right)$라 할 때, $f\left(n,~n+4\right)=15$를 만족시키는 자연수 $n$의 값을 구하시오.

 

$a=n,~b=n+1$로 두고 문제를 해결해 보자.

 

1. $x<0$일 때

$\lvert x \rvert +\lvert x-a\rvert<b$

$x-\left(x-n\right)<n+4$

$x>-2$

따라서 $-2<x<0$

 

2. $0\leq x <n$일 때

$\lvert x \rvert +\lvert x-a\rvert<b$

$x-\left(x-n\right)<n+4$

$0<4$이므로 주어진 구간이 모두 성립한다.

따라서 $0\leq x<n$

 

3. $x\leq n$일 때

$\lvert x \rvert +\lvert x-a\rvert<b$

$x+\left(x-n\right)<n+4$

$x<n+2$

$n\leq x<n+2$

 

이 세 가지 부등식을 모두 합하면 최종적으로 $-2\leq x <n+2$이다.

문제에서 $f\left(n,~n+4\right)=15$이었으므로,

$n+2-\left(-2\right)-1=15$  <--이 부분이 이해되지 않는다면 위에 써둔 필요한 개념 부분을 다시 읽기 바란다.

$n=12$이다.

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