중3 수학. 제곱근의 성질

제곱근의 성질

1. $a$의 제곱근의 성질 : $a>0$일 때.

 

$$\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a$$

$$\sqrt{a^{2}}=a,~ \sqrt{\left(-a\right)^{2}}=a$$

 

예를들어 $\left(\sqrt{3}\right)^{2}=3$

$\sqrt{7^{2}}=7,~ \sqrt{\left(-7\right)^{2}}=7$

 

2. 제곱근의 대소 관계 : $a>0,~b>0$일 때

$a<b$이면 $\sqrt{a}<\sqrt{b}$

$\sqrt{a}<\sqrt{b}$이면 $a<b$

 

예를들어 $3<7$이면 $\sqrt{3}<\sqrt{7}$

$\sqrt{5}<\sqrt{6}$이면 $5<6$

 

3. $\sqrt{A^{2}}$의 성질

$\sqrt{A^{2}} = \begin{cases}A & A \geq 0\\ -A & A < 0\end{cases}  $

 

$$a\geq b \text이면 a-b\geq 0 $$

$$\therefore \sqrt{\left(a-b\right)^{2}}=a-b$$

 

$$a<0 이면 a-b<0$$

$$\therefore \sqrt{\left(a-b\right)^{2}}=-\left(a-b\right)=-a+b$$

 

4. 제곱근이 정수가 되도록 하는 자연수 구하기

 1) $\sqrt{Ax}, \sqrt{\frac{A}{x}}$ ($A$는 자연수)가 정수가 되도록 하는 자연수 $x$의 값 구하기

$\Rightarrow$ $A$를 소인수분해하여 $Ax, \Large{\frac{A}{x}}$가 제곱수가 되게 하는 $x$를 찾는다.

 

예를 들어 

$\sqrt{18x}$가 정수가 되기 위해서는 

$18x$가 제곱수가 되어야 한다.

제곱수가 되기 위해서는 $18x$를 먼저 소인수 분해한다.

$18x=2\times 3^{2}\times x$

제곱수가 되기 위해서는 지수가 짝수이면 된다.

소인수인 2가 지수가 홀수이므로 2를 하나 더 곱해주면 지수가 짝수가 된다.

따라서 $x=2$이다.

 

2) $\sqrt{A-x}$($A$는 자연수)가 정수가 되도록 하는 자연수 $x$의 값

$\Rightarrow$ $x\leq A$를 만족하고

$A-x$가 제곱수가 되게 하는 $x$를 찾는다.

 

예를 들어 $\sqrt{18-x}$가 정수되기위한 자연수 $x$를 구하자.

$18-x$가 제곱수가 되어야 한다.

그러면 $18$보다 작은 제곱수를 먼저 찾아보면 1, 4, 9, 16이다.

따라서, $18-x=1$, $18-x=4$,

$18-x=9$, $18-x=16$인 $x$를 찾자

$\therefore x= 17, 14, 9, 2$이다.