교육

중2 수학. 미지수가 2개인 일차방정식의 해 미지수가 2개인 일차방정식의해란,미지수가 $x,~y$인 일차방정식을 참이 되게 하는 $x,~y$의 값 또는 그 순서쌍 $\left(x,~y\right)$이다. $x,~y$가 자연수일 때 일차방정식 $2x+y=8$을 풀어보자. 이때 방정식을 푼다라는 것은 방정식의 해를 모두 구하는 것을 의미한다. $2x+y=8$에서 $x=1$일 때부터 차근차근 찾아보자. $x=1$이면 $2\times 1+y=8$이 되어 $y=6$이다. $x=2$이면 $2\times 2 +y=8$이 되어 $4+y=8$ 따라서 $y=4$이다. $x=3$이면 $2\times 3+y=8 \Rightarrow 6+y=8$ 따라서 $y=2$이다. $x=4$이면 $2\times 4+y=8 \Rightarr..

중2 수학. 미지수가 2개인 일차방정식 미지수가 2개인 일차방정식 미지수가 2개인 일차방정식이란 미지수가 2개이고, 그 차수가 모두 $1$인 방정식을 말한다. 여기서 미지수란 미지의 수이다. 즉 모르는 수라는 것이다. 미지의 세계라는 것이 모르는 알 수 없는 세계처럼 미지수는 알 수 없는 어떤 수라는 것이다. 자 그럼 미지수가 2개인 일차방정식이 어떤 것이 있는지 알아보자. 예를 들면 $x+y+2=0$이 있다. 여기서 미지수는 $x,~y$인 2개이고 차수가 모두 $1$인 것이다. 하나 더 예를 들면 $3x-y+1=0$이다. 여기서 미지수는 $x,~y$이고 차수 또한 모두 $1$이다. 이렇게 미지수가 $2$개인 일차방정식은 아래와 같은 모양을 가진다. $$ax+by+c=0~ \left(a\neq0,~b\n..

중1 수학. 일차방정식 일차방정식 일차방정식이란 우변의 모든 항을 좌변으로 이항 하여 정리했을 때 ($x$에 대한 일차식)=$0$의 꼴이 나타나면 된다. 좀 더 수학적으로 나타내면 $ax+b=0$, 단 $a\neq0$이다. 이렇게 개념적으로만 살펴보면 문제를 해결하는데 어려움이 있을 것이다. 실제로 예를 들어보자. $2x-1=3+x$에서 모든 항을 좌변으로 이항해 보자. $2x-x-1-3=0$이다. 이제 항을 정리하여 계산해 보자. $x-4=0$이다. 이 식은 $ax+b=0$의 모양인데, 이때 $a=1,~b=-4$인 것이다. 따라서 $2x-1=3+x$은 일차방정식이다. 다시 한번 또 살펴보자. $6x-8$이라는 식을 살펴보자. 이 식은 중요한 것이 $=$가 없다. 따라서 방정식이 아니다. 하지만 $6x-..

일차방정식의 활용, 시계문제 일차방정식에서 시침과 분침이 움직인 각도를 이용한 활용문제를 다루어보고자 한다. 시침과 분침이 움직이는 각도는 12시 0분을 기준으로 움직이는 각도를 이야기할 것이다. 먼저 시침이 움직이는 각도를 알아보자. 시침은 12시간을 기준으로 $360^{o}$ 움직인다. 이것을 12로 나누면 시침은 1시간 기준으로 $30^{o}$ 움직인다. 1시간은 60분이 되므로 시침은 60분동안 $30^{o}$움직인다. 이것을 다시 60으로 나누면 시침은 1분동안 $\frac{1}{2}=0.5^{o}$움직인다. 다시 한번 정리하겠다. 시침은 $$12시간에 360^{o}움직인다.$$ $$1시간에 30^{o}움직인다.$$ $$1분에 0.5^{o}움직인다$$ 자 이제 분침을 이야기해보자. 분침은 60분..

일차방정식의 활용- 거리, 속력, 시간자 먼저 거리 속력 시간에 대한 공식을 초등학교 때 배웠다. $$거리=속력\times 시간$$ $$속력=\frac{거리}{시간}$$ $$시간=\frac{거리}{속력}$$ 이 세 가지 공식은 반드시 암기해야 하는 상황이다. 특히 $거리=속력\times 시간$은 암기할 때 '거리에 나가면 속이 시원하다'로 암기하면 얼굴은 붉어지겠지만, 머리는 화끈하게 암기가 될 것이다.행복이는 등산을 하는데 올라갈 때는 시속 $2km$로 걷고, 내려올 때는 같은 등산로를 시속 $5km$로 걸었더니 총 $5$시간이 걸렸다. 등산로의 길이를 구하여라.등산로의 길이를 $xkm$라 하자. 올라갈 때 시간 + 내려올 때 시간 = 5시간인 것을 이용하여 식을 세워보자. $$올라갈 때 시간 = \f..

일차방정식 활용 나이문제 활용문제의 개념은 문제를 잘 읽고 식을 세워서 풀어낸 후 문제에 맞는 답을 찾고 검토하여 맞는지 확인해야 한다. 이것이 개념이다, 개념을 완벽히 안다고 해서 모든 문제를 풀어낼 수는 없다. 따라서 문제를 보고 몇 번 연습을 해야 한다. 자 이제 실제 문제를 보고 연습해보자. 형과 동생의 나이차는 $4$살이고, 나이의 합은 $48$살일 때 동생의 나이를 구하여라. 동생의 나이를 $x$살이라 하자. 형의 나이는 동생보다 당연히 나이가 많고 $4$살 차이이므로 형의 나이는 $x+4$살이 된다. 문제에서 동생과 형의 나이 합이 $48$살이므로 식을 세워보자. $$x+\left(x+4\right)=48$$ $$2x+4=48$$ $$2x=48-4$$ $$2x=44$$ $$x=22$$ 따라서..

해가 주어질 때, 미지수의 값 구하기일차방정식의 해가 주어졌을 때, 그 해를 이용하여 다른 문자를 구할 수 있다. 실제 예를 통해 알아보자. $3x+a=5x-2$ 의 해가 $x=2$라 해보자. 그렇다면 $x$대신에 $2$로 바꾸어 쓸 수 있다. 따라서 $$3\times 2+a=5\times 2-2$$ $$6+a=10-2$$ $$6+a=8$$ $$a=8-6$$ $$a=2$$ 이러한 풀이과정을 거쳐서 $a$의 값을 구할 수 있다.몇 가지 더 예를 들어보자. 일차방정식 $3x+a=6-2\left(1-2x\right)$의 해가 $x=-1$일 때, 상수 $a$의 값을 구해보자. 먼저 주어진 문제를 쓰고 풀이를 시작해보겠다. $$3x+a=6-2\left(1-2x\right)$$ 문제의 괄호를 풀어서 식을 쓰자. $..

비례식을 이용한 일차방정식의 풀이 비례식을 이용할 때는 내항의 곱과 외항의 곱이 같다는 점을 이용하여 풀어낸다. 초등학교 6학년때 배웠을 것이다. 하지만 잊어버렸기에 다시 정리해 보자 $$a:b=x:y$$ $$ay=bx$$ 비례식의 안쪽끼리 곱한 값과, 바깥쪽끼리 곱한 값이 각각 같다는 것이다. 실제로 이제 일차방정식의 풀이과정을 보면서 한줄한줄 이해해 보자. $$\left(4x+5\right):\left(x-5\right)=3:2$$ $$2\left(4x+5\right)=3\left(x-5\right)$$ $$8x+10=3x-15$$ $$8x-3x=-15-10$$ $$5x=-25$$ $$x=-5$$ 첫 번째 줄의 식에서 두 번째 줄의 식이 된 이유는 비례식의 내항의 곱이 외항의 곱과 같다는 점을 이용한..

복잡한 일차방정식의 풀이 계수가 분수와 소수가 함께 있는 일차방정식의 풀이 계수가 분수와 소수 함께 있는 경우 소수를 분수로 고친 후 분모의 최소공배수를 곱하여 푼다. 하지만 사실, 소수를 분수로 바꿀 필요는 없다. 왜냐하면 $0.1$이나 $0.4$같은 소수 첫째짜리까지 있는 경우는 $10$의 배수를 곱하면 된다. $0.12$, $0.43$와 같은 소수 둘째짜리까지 있는 경우는 $100$의 배수를 곱하면 된다. 실제 예를 들어가면서 설명해보도록 하겠다. $$\frac{1}{2}-\frac{4}{5}=0.2x-1$$ $$5x-8=2x-10$$ $$5x-2x=-10+8$$ $$3x=-2$$ $$x=-\frac{2}{3}$$ 첫 번째 줄의 식에서 두 번째 줄의 식이 된 이유는 양변에 $10$을 곱했기 때문이다..

계수가 분수인 일차방정식의 풀이 분수 형태의 일차방정식의 풀이는 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 정수로 고쳐서 푸는 것이 가장 쉽다. $$\frac{5}{6}x+1=\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}$$ $$5x+6=3x-4$$ $$5x-3x=-4-6$$ $$2x=-10$$ $$x=-5$$ 첫 번째 줄의 식에서 두 번째 줄의 식이 된 이유는 양변에 분모의 최소공배수인 $6$을 곱하였기 때문이다. 두 번째 줄의 식에서 세 번째 줄의 식이 된 이유는 $x$를 포함하는 모든 식은 좌변으로, 숫자는 우변으로 이항 했기 때문이다. 세 번째 줄의 식에서 네 번째 줄의 식이 된 이유는 양변의 동류항을 계산하여 $ax=b$의 모양으로 나타냈다. 네 번째 줄의 식에서 다섯 번째 줄의 식이 된 이유는 양..