중2 수학. 순환소수 소수점 아래 n번째 자리 구하기

순환소수 소수점 아래 n번째 자리 구하기

순환소수 $0.\dot{2}\dot{5}$의 소수점 아래 20번째 자리의 숫자는 무엇일까?

 

$0.\dot{2}\dot{5}$ 의 순환마디 숫자는 2. 5의 2개이고

$20=2\times 10+0$이므로 순환마디 2, 5가 총 10번씩 반복된다는 뜻이다.

즉 $0.25252525252525252525\cdots $이다.

즉 순환마디의 10번씩 반복이 되고 나머지가 0이므로 마지막 숫자인 5가 되는 것이다.

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아직 이해하기 힘들 것이다. 몇번의 예를 더 살펴보자

$0.\dot{5}02\dot{7}$의 소수점 아래 22번째 자리의 숫자를 살펴보자.

$0.\dot{5}02\dot{7}$의 순환마디는 5, 0, 2, 7로 4개이다.

그렇다면 소수점 아래 22번째 자리 숫자를 구하기 위해서는, 

22를 순환마디 개수인 4로 나눈 나머지를 살펴보는 것이다.

즉 $22=4\times 5+2$이다. 즉 22를 4로 나누면 몫이 5이고 나머지가 2이다.

이것은 순환마디 5027이 총 5덩어리가 나열되어 있고 2개의 숫자가 더 있어야 소수점 아래 22번째가 된다는 뜻이다.

소수로 표현해보면

$$0.\left(5027\right)\left(5027\right)\left(5027\right)\left(5027\right)\left(5027\right)50\cdots $$

이러한 뜻이 되는 것이다 

따라서 나머지가 2이기 때문에 순환마디 두 번째 숫자인 0이 소수점 아래 22번째 수가 되는 것이다.

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자 그럼 같은 소수로 소수점 아래 101번째 수를 구해보자.

$$0.\dot{5}02\dot{7}$$

위 순환소수의 소수점 아래 101번째 수를 구하여라.

순환마디는 5, 0, 2, 7로써  4개이다.

101을 4로 나눈 몫과 나머지를 구해보자

$101=4\times 25 +1$ 이므로  문제의 순환소수 소수점 아래 101번째 수는 순환마디는 첫 번째 수인 5가 정답이 된다.