고등수학 용어정리. 이차방정식의 근의 판별

이차방정식의 근의 판별

$a,~b,~c$가 실수인 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 판별식을 $D=b^{2}-4ac$라 하자.

 

 (1) $D>0$이면 서로 다른 두 실근을 갖는다. 

 (2) $D=0$이면 중근을 갖는다, 서로 같은 두 실근을 갖는다.

 (3) $D<0$이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.

 

참고로 실근을 갖는 조건은 $D\geq 0$이다.

또한 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$이 완전제곱식이 되기 위한 조건으로는 $b^{2}-4ac=0$이다.

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참고

이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$에서 계수가 실수인 조건이 필요한 경우가 있다.

 (1) 근의 판별

 허수는 대소를 비교할 수 없으므로 판별식을 이용하여 근을 판별할 때에는 반드시 계수가 실수라는 조건이 필요하다. 

 

예를 들어 이차방정식 $x^{2}+2ix-2=0$에 대한 식을 판별식을 사용하면 $\Large \frac{D}{4}=i^{2}+2=1>0$이다. 

하지만 근의 공식을 이용하면 $x=-i\pm1$로 허근을 갖는다. 

 

계수가 복소수인 이차방정식도 판별식 $D=0$이면 중근을 갖는다.

 

예를들어 이차방정식 $x^{2}-2ix-1=0$의 판별식을 사용하면 $\Large \frac{D}{4}=i^{2}+1=0$으로 중근을 갖는데, 근의 공식을 이용해 보면 $x=i$이므로 근의 공식을 이용해도 중근을 갖는다.

 

(2) 실근의 부호

허수는 대소를 비교할 수 없으므로 실근의 부호를 따질 때에는 계수가 실수라는 조건이 필요하다.