교육

최대공약수와 최소공배수의 관계 문제풀이 문제. 두 자연수 $A,~B$의 곱이 $360$이고, 두 수의 최대공약수가 $6$일 때, 두 수의 최소공배수를 구하여라. 필요한 개념 두 수를 $A,~B$라 하고 최대공약수를 $G$, 최소공배수를 $L$이라 하자. 그러면 $A\times B=L\times G$이다. 다시 말하면 두 수의 곱 = 최대공약수 $\times$ 최소공배수이다. 풀이 문제를 다시 한번 꼼꼼하게 읽어보자. 두 자연수 $A,~B$의 곱이 $360$이고, 두 수의 최대공약수가 $6$일 때, 두 수의 최소공배수를 구하여라. 두 수의 곱 = 최대공약수 $\times$ 최소공배수 이므로 식을 써보면 $360=6\times$최소공배수 따라서 최소공배수는 $60$이다.

공배수와 최소공배수 1) 공배수 : 두 개 이상의 자연수의 공통인 배수 2) 최소공배수 : 공배수 중에서 가장 작은 수 3) 최소공배수의 성질 두 개 이상의 자연수의 공배수는 모두 최소공배수의 배수이다. 참고로 공배수는 끝없이 구할 수 있으므로 공배수 중에서 가장 큰 수는 알 수 없다. 그렇기 때문에 최대공배수는 생각할 필요가 없다. 두 자연수의 공약수는 유한개이지만 공배수는 무한하게 많다. 최소공배수의 활용 문제 속에 주어진 문장 속에 '가장 자근', '최소의', '가능한 자긍ㄴ', '가능한 한 작게' 등의 표현이 있는 문제는 최소공배수를 이용한다. 1) 두 사람이 동시에 출발한 후, 처음으로 다시 만나는 시각을 구하는 문제 2) 정해진 시간동안 작동하고 일정시간 동안 쉬는 기계, 예를 들어 신호등이 ..

최소공배수 1. 공배수 : 두 개 이상의 자연수의 공통인 배수 2. 최소공배수 : 공배수 중 가장 작은 수 예를 들어 5의 배수 : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, $\cdots$ 6의 배수 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, $\cdots$ 5와 6의 공배수 : 30, 60, 90, $\cdots$ 5와 6의 최소공배수 : 30 3. 최소공배수의 성질 : 공배수는 최소공배수의 배수이다. 4. 소인수분해를 이용하여 최소공배수 구하기 (1) 각각의 자연수를 소인수분해한다. (2) 공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모두 곱한다. 이때 공통인 소인수는 거듭제곱의 지수가 크거나 같은 것을 말한다.

두 분수를 자연수로 만들기 1. 분모가 같은 두 분수를 자연수로 만들기 $\frac{a}{n}, \frac{b}{n}$가 모두 자연수인 경우에 $n$은 $a$의 약수이면서 $b$의 약수이다. 즉 $n$은 $a$와 $b$의 공약수이다 이 말을 보고 완벽하게 이해하기란 여간 쉬운일이 아니다. 따라서 문제를 통해서 다시 한번 해설하겠다. 아래의 문제를 살펴보자. $$\frac{12}{n}, \frac{16}{n}$$ $\frac{12}{n}$가 자연수가 되기 위해서는 $n$의 값이 12의 약수이어야 한다. 그 이유는 $n$이 1이면 $\frac{12}{1}$이 되어 12가 되고 $n$이 2가 되면 $\frac{12}{2}$가 되어 자연수 6이 되는 식이다. 따라서 $\frac{12}{n}, \frac{16}..

최소공배수의 활용 문제를 통한 설명 가로의 길이가 15cm, 세로의 길이가 20cm인 직사각형 모양의 타일을 겹치치 않게 빈틈없이 붙여서(공배수) 가장 작은(최소) 정사각형을 만들려고 할 때, 정사각형의 한 변의 길이를 구해보자. 빈틈없이 붙이는 것이므로 점점 커진다. 커지는데 가로세로 배수로 커진다. 아래의 단계를 보자 1단계, 정사각형의 가로의 길이는 15의 배수이다. 2단계, 정사각형의 세로의 길이는 20의 배수이다. 3단계, 정사각형의 한 변의 길이는 15와 20의 공배수이다. 4단계, 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이는 15와 20의 최소공배수이다. 정리하자면 처음으로 다시, 가능한 한 작은, 되도록 작은, 최소의라는 말이 있으면 최소이다. 그리고 동시에 출발하는, 빈틈없이 붙여서, ~으로 나..

소인수분해를 이용하여 최소공배수 구하기 소인소분해를 이용하여 최소공배수를 구할 때의 순서를 먼저 알려주겠다. 첫 번째, 각각의 자연수를 소인수분해한다. 둘째, 공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모두 곱한다. 이 설명가지고는 이해하기 아직 부족하다. 아래의 사진을 보자. 위의 사진은 12, 24, 30의 최소공배수를 구하는 과정이다. 첫 번째로 12와 24, 30을 소인수분해 하였다. 소인수분해하여 적을 때 소인수의 위치를 맞추어서 적는 것이 중요하다. 두 번째, 소인수가 2인경우를 보면 지수가 다르다. 그 경우 지수가 다르면 큰 것을 적는다. 그리고 소인수가 3인경우를 보면, 지수가 같다. 이렇게 지수가 같으면 그대로 쓴다. 사실 소인수가 2인 것처럼 지수가 다르면 큰 것을 적는데, 소인수가 3인경우..

1. 공약수로 나누어 최소공배수 구하기 위의 사진에서 16과 28의 최소공배수 구하는 모습을 설명하겠다. 먼저 16과 28을 공통으로 나누는 수, 즉 공약수가 2가 있다 그래서 2로 나누면 8과 14가 남는다. 다시 한번 8과 14의 공약수인 2로 나누면 4와 7이 남는다. 더 이상 4와 7은 공통으로 나누는 수가 없다. 그렇다면 이제 최소공배수를 구하면 된다. 그때, 최소공배수는 2x2x4x7이다. 그리고 최대공약수는 2x2이다. 이번인 세 개짜리 최소공배수에 대해 설명하겠다. 12와 24와 30의 공약수인 2로 나누면 6, 12, 15이고 6, 12, 15의 공약수인 3으로 나누면 2, 4, 5이다. 이때 최소공배수를 구할 때는 세 개의 숫자 중 두 개만 나누어져도 나누고, 나누어지지 않는 수는 그대..

공배수와 최소공배수 공배수란 무엇일까? 공배수란 두 개 이상의 자연수의 공통인 배수이다. 그렇다면 최소공배수란 무엇일까? 최소공배수란 공배수 중 가장 작은 수이다. 아래 사진을 보자 위의 사진은 4와 6의 최소공배수 구하는 과정을 슨 것이다. 먼저 4의 배수를 나열하자, 4의 배수는 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32... 끝없이 많다 6의 배수는 6, 12, 18,24, 30, 36, ... 이다. 이때 4와 6의 공배수는 4의 배수와 6의 배수 중 공통부분인 것이다. 즉 겹치는 부분이다. 다시말하면, 4와 6의 공배수는 12, 24, 36,...이다 이때 공배수 중 가장 작은 수는 12이므로 4와 6의 최소공배수는 12이다. 그럼 거꾸로 생각해 보자 최소공배수 12의 배수는 무엇일까?..