고등수학 용어정리. 이차방정식 근과 계수와의 관계

이차방정식의 근과 계수와의 관계

1. $a,~b,~c$가 실수인 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha,~\beta$라 하면 

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$\Large\alpha+\beta=-\frac{b}{a},~\alpha\beta=\frac{c}{a}$

 

2. 두 수 $\alpha,~\beta$를 두 근으로 갖고, $x^{2}$의 계수가 $1$인 이차방정식은

$x^{2}-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0$이다.

 

2-1. 참고로 두 수 $\alpha,~\beta$를 두 근으로 갖고, $x^{2}$의 계수가 $2$인 이차방정식은

$2\left\{x^{2}-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta\right\}=0$이다.

 

3. 이차방정식의 인수분해

이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha,~\beta$라 하면 $\alpha+\beta=-\frac{b}{a},~\alpha\beta=\frac{c}{a}$이므로

 

$ax^{2}+bx+c $

$= a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)$

$= a\left\{x^{2}-\left(\alpha+\beta\right)+\alpha\beta\right\} $

$= a\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)$ 이다.

 

4. 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0,~\left(c\neq0 \right)$의 두 근이 $p,~q$이면

이차방정식 $ax^{2}-bx+c=0$의 두 근은 $-p,~-q$이다.

 

또한 이차방정식 $cx^{2}+ bx+a=0$의 두 근은 $\frac{1}{p},~\frac{1}{q}$이다.

마찬가지로 이차방정식 $cx^{2}- bx+a=0$의 두 근은 $-\frac{1}{p},~-\frac{1}{q}$이다.

 

5. 두 근 사이의 관계가 주어진 문제를 풀 때 아이디어.

두 근의 비가 $m:n$이면 두 근을 $m\alpha,~n\alpha,~\left(\alpha\neq0\right)$으로 두자

두 근의 차가 $m$이면 두 근을 $\alpha,~\alpha+m$또는 $\alpha,~\alpha-m$으로 두자.

한 근이 다른 근의 $k$배이면 $\alpha,~k\alpha \left(k\neq0\right)$

두 근이 연속인 정수이면 $\alpha,~\alpha+1$또는 $\alpha-1,~\alpha$로 두자.