고등수학 용어정리. 이차방정식

이차방정식의 풀이

1. 방정식 $ax=b$의 해를 구해보자.

 

 (1) $a\neq0$일 때, $x=\Large\frac{b}{a}$이다.

 

예를 들어 $3x=1$일 때, $x=\Large\frac{1}{3}$이다.

 

 (2) $a=0$일 때, $\begin{cases}해가 없다. & b\neq0 \\해가 무수히 많다. & b=0\end{cases} $

 

예를 들어 $0x=1$을 살펴보면 $x$에 어떤 값을 넣든지 간에 항상 $0x=0$이 나오기 마련이다. 그런데 $0x=2$이라니 말이 안 되는 것이다. 절대 일어날 수 없는 것이다. 따라서 $x$에 무슨 값을 넣어도 $1$이 나올 수 없으므로 해가 없다는 뜻이다.

 

또한 $0x=0$을 살펴보자. $x$에 어떤 값을 대입하든지 간에 항상 $0x=0$이 되는 것이다. 따라서 이 경우 해가 무수히 많은 경우가 되는 것이다.

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2. 절댓값 기호를 포함한 방정식

절댓값 기호를 포함한 방정식의 경우 절댓값 기호 안의 식이 $0$이 되는 $x$의 값을 기준으로 구간을 나누어 푼다.

 개념적으로 이야기하면, 

 $\lvert A\rvert=\begin{cases}A & A\geq0 \\-A & A < 0\end{cases} $이다.

 

하지만 이 글을 보고는 알기 어렵다.

예를 들어보자. 

 

$\lvert x-1\rvert=3$을 풀어보자.

이경우 절댓값 안의 $x-1$이 $0$이 되는 $x$값을 기준으로 구간을 나눌 것이다.

따라서 $x=1$을 기준으로 구간을 나누어서 풀 것이다. 

 

첫 번째, $x<1$인 경우 $x-1<0$이므로

$\lvert x-1\rvert=3$

$-\left(x-1\right)=3$

$-x+1=3$

$-x=2$

$x=-2$이다. 또한 구간의 기준을 잡을 때 $x<1$로 잡았으므로 $x=-2$가 성립한다.

 

두 번째, $x\geq1$인 경우 $x-1\geq0$이므로

$\lvert x-1\rvert=3$

$x-1=3$

$x=2$이다. 또한 구간의 기준을 잡을 때 $x\geq0$로 잡았으므로 $x=2$가 성립한다. 

 

최종적으로 $\lvert x-1\rvert=3$의 해는 $x=2,~x=-2$이다.

 

참고사항.

1. '일차방정식', '이차방정식'과 같이 차수에 대한 말이 있는지 항상 확인하자.

 

2. 방정식 $ax=b$, 방정식 $ax^{2}+bx+c=0$처럼 차수에 대한 말이 없는 경우는 $a=0$인 경우와 $a\neq0$인 경우로 구분해서 해를 구해야 한다.

 

3. $\lvert f\left(x\right)\rvert=k,~\left(k\geq0,~k는 상수\right)$꼴의 방정식은 $f\left(x\right)=0$인 $x$의 값을 기준으로 구간을 나누어야 한다.