중2 수학. 계수가 분수인 연립방정식의 풀이

계수가 분수인 연립방정식의 풀이

계수가 분수인 연립방정식의 경우 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 정수로 고친다.

단 주의할 점은 방정식의 양변에 분모의 최소공배소를 곱할 때는 모든 항에 똑같이 곱해야 한다.

예를 들어보자.

$\frac{3}{x}+\frac{y}{2}=2$의 식에서 최소공배소인 $6$을 곱하면

$2x+3y=2$는 틀린 식이 된다. 그 이유는 맨 마지막 상수인 $2$에 $6$을 곱하지 않았기 때문이다.

따라서 제대로 $6$을 곱했다면 $2x+3y=12$가 맞는 식이 된다.

 

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자 이제 몇 가지 예를 들어 문제를 통해 설명해 보겠다.

 

$\begin{cases} \frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2 \\ \frac{x}{4}+\frac{y}{6}=2 \end{cases}$

이 연립방정식의 첫 번째 식에는 분모의 최소공배수인 $6$을 곱하고 두 번째 식에는 분모의 최소공배수인 $12$을 곱해서 분수를 정수로 바꾸어보자.

$\begin{cases}3x-2y=12 \\ 3x+2y=36 \end{cases}$

이제 이 식을 양변을 더해주면 자연스럽게 $y$가 소거가 되므로 가감법을 이용하자.

$\quad~~ 3x-2y=12$
$-)\underline{3x+2y=36}$
$\quad 6x\quad~~~= 48$

따라서 $x=8$이 나오고 그 $x=8$ 을 $3x-2y=12$에 대입하면 $y=6$가 나온다.

최종적으로 이 연립방정식의 해는 $x=8,~y=6$가 된다.

 

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$\begin{cases} \frac{x}{3}+\frac{y}{2}=2 \\ \frac{3}{4}x-\frac{y}{3}=\frac{19}{12} \end{cases}$

이 연립방정식의 첫 번째 식에는 분모의 최소공배수인 $6$을 곱하고 두 번째 식에는 분모의 최소공배수인 $12$을 곱해서 분수를 정수로 바꾸어보자.

$\begin{cases}2x+3y=12 \\ 9x-4y=19 \end{cases}$

이제 이 식을 가감법을 이용해 $y$를 소거시키려면 첫 번째 식에 $4$를 곱하고 두 번째 식에는 $3$를 곱해서 다시 써보자.

$\begin{cases}8x+12y=48 \\ 27x-12y=57 \end{cases}$

이제 이 식을 더해보자.

$\quad~~ 8x+12y=48$
$+)\underline{27x-12y=57}$
$\quad 35x\quad~~~= 105$

따라서 $x=3$이 나오고 그 $x=3$ 을 $2x+3y=12$에 대입하면 $y=2$가 나온다.

최종적으로 이 연립방정식의 해는 $x=3,~y=2$가 된다.