R의 영과 단위원은 각각 유일하다. 증명 $0$과 $0^\prime$이 $R$의 영이라고 하자. 그러면 영의 정의에 의해 $$0+0^\prime =0$$ 이고, 또한 $0^\prime $이 $R$의 영이므로 $0$의 정의에 의해 $$0^\prime +0=0^\prime$$ 이다. 그런데 덧셈의 교환법칙에 의해 $0+0^\prime =0^\prime +0$이므로 $$0^\prime = 0+0^\prime = 0^\prime +0=0$$ 이다. 따라서 $0=0^\prime $ 이다. 다음으로, $1$과 $1^\prime$이 $R$의 단위원이라 하면 단위원의 정의에 의해 $1\cdot 1^\prime = 1^\prime $ 이고 $1^\prime \cdot 1=1$ 이므로 곱셈에 관한 교환법칙에 의해 $1=1..