이차함수와 직선의 교점 문제 분석 및 상세 풀이 과정

이차함수와 직선의 교점 문제 분석 및 상세 풀이 과정

중고등학생들이 시험에서 자주 접하는 이차함수와 직선의 교점 문제다.
단순한 대수적 계산을 넘어 기하학적 조건을 논리적인 방정식으로 바꾸는 능력이 필요하다.
대수적 관점과 기하학적 관점을 통합하여 오류 없이 푸는 방법을 단계별로 설명한다. 먼저 어떤 문제인지 파악해 보자.

아래로 볼록한 이차함수와 기울기가 양수인 직선이 만나는 상황이다. 두 교점에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 C와 D라고 할 때, 고정된 두 점 A, B와 이루는 선분 길이의 비율이 1 대 3이라는 조건이 있다. 최종 목표는 이 기하학적 조건을 만족하는 미지수 k 값의 합을 구하는 것이다.

제1부: 문제의 대수적 재정립과 초기 수식 도출

가장 먼저 해야 할 일은 함수 간의 교점을 구하기 위한 대수적 토대를 마련하는 것이다.

단계 1: 통합된 이차방정식 세우기
교점은 두 함수의 값이 같아지는 지점이다. 따라서 이차함수식과 직선식을 등호(=)로 연결한다. 모든 항을 한쪽으로 넘겨서 정리하면, x에 대한 새로운 하나의 통합된 이차방정식이 만들어진다. 이 방정식의 두 실근이 바로 교점의 x 좌표가 된다. 필기 이미지에서는 x^2 - 6x + (3 - k) = 0 이라는 방정식을 도출했다.

단계 2: 근과 계수의 관계 활용
방정식에 미지수 k가 있어서 직접 근을 구하기는 어렵다. 이때는 근과 계수의 관계를 활용해야 한다. 두 실근을 알파와 베타로 둔다. x 좌표가 작은 점이 C이므로, 알파를 더 작은 값으로 정한다. 근과 계수의 관계에 따라 두 근의 합은 6이라는 고정된 숫자가 나온다. 두 근의 곱은 3에서 k를 뺀 값이 된다. 이 두 가지 관계식이 끝까지 문제를 푸는 핵심 도구가 된다.

제2부: 기하학적 조건의 수식 번역과 논리적 경우의 수 분류

이 문제의 핵심은 선분 길이의 비율이 1 대 3이라는 조건을 어떻게 수식으로 오류 없이 바꾸느냐이다.

## **(여기에 기하학적 번역 과정을 보여주는 [1000036812.png] 이미지를 위치시킨다.)**

단계 3: 비율 조건의 엄밀한 대수화

선분의 길이는 수직선 위 두 점 사이의 거리, 즉 두 좌표 차이의 절댓값으로 정의된다. 점 A의 좌표는 1, 점 B의 좌표는 3이다. 선분 AC의 길이는 알파와 1의 차이에 절댓값을 씌운 것이고, 선분 BD의 길이는 베타와 3의 차이에 절댓값을 씌운 것이다. 비율이 1 대 3이라는 조건을 비례식으로 세워 정리하면, 3배를 한 |알파 - 1|은 |베타 - 3|과 같다는 방정식이 나온다.

단계 4: 일변수 방정식으로 통합 및 경우 나누기
앞서 두 근의 합이 6이라는 것을 알았으므로, 베타 대신 (6 - 알파)를 절댓값 방정식에 대입한다. 그러면 알파만 남는 단순한 절댓값 방정식으로 정리된다. 이제 절댓값 안의 부호가 같은 경우와 다른 경우 두 가지로 나누어 풀어야 한다.

이미지에서는 이 과정을 수직선 다이어그램으로 시각화하여 논리를 전개했다.

첫 번째, 절댓값 안의 부호가 같은 경우다. 절댓값을 그대로 풀어서 일차방정식을 계산하면 알파는 0이 나온다. 두 근의 합이 6이므로 베타는 6이 된다. 알파가 더 작다는 처음 조건에도 맞으므로 올바른 한 쌍의 해가 된다.

두 번째, 절댓값 안의 부호가 다른 경우다. 한쪽에 음(-)의 부호를 붙여서 절댓값을 풀고 계산하면 알파는 1.5(또는 3/2)가 나온다. 합이 6이므로 베타는 4.5(또는 9/2)가 나온다. 이 역시 크기 조건에 맞으므로 또 다른 해가 된다.

제3부: 최종 미지수 계산 및 결론 도출

이제 찾아낸 교점 좌표를 바탕으로 미지수 k 값을 계산하고 정답을 마무리한다.

단계 5: 각 좌표에 대응하는 k값 계산 및 검증
대수적 설정 단계에서 구했던 근의 곱 관계식을 사용한다. 두 좌표의 곱은 (3 - k)와 같아야 한다.
첫 번째 좌표인 0과 6을 곱하면 0이다. (3 - k)가 0이 되려면 k는 3이어야 한다. 이차방정식이 실제 교점을 가지는지 확인하기 위해 판별식에 넣어보면 결과가 양수이므로 이 값은 타당하다.
두 번째 좌표들(1.5와 4.5)을 곱하면 4분의 27이 나온다. (3 - k)가 4분의 27이 되어야 하므로, 계산해 보면 k는 음수 4분의 15가 나온다. 이 값 역시 판별식에 넣어보면 양수가 나오므로 조건에 맞는 값이다.

결론 도출
문제에서 요구한 것은 모든 실수 k 값의 합이다. 앞서 구한 3과 음수 4분의 15를 더한다. 3을 분모가 4인 분수로 통분하여 12로 만들고 계산하면, 최종 결과는 음수 4분의 3이다. 보기 중에서 4번이 이 결과와 일치하므로 정답은 4번이다.

기하학적 의미를 엄밀한 절댓값 수식으로 번역하고, 논리적으로 경우를 나누어 푸는 과정이다. 이 단계를 침착하게 거치면 복잡한 조건의 문제도 실수 없이 해결할 수 있다. 눈으로만 보지 말고 직접 수직선을 그리고 절댓값을 나누어 푸는 과정을 연습해 보길 바란다.